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Test z

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Comparaison de la moyenne d'un échantillon à une moyenne théorique

Objectif du test

Comparer la moyenne observée (m) d'un échantillon à une moyenne connue (μ0) d'une population de référence.

Type de variable du test

Variable quantitative continue.

Données du test

μ0 : moyenne théorique connue de la population de référence
M : moyenne inconnue de la population d'où est issu l'échantillon
m : moyenne observée dans l'échantillon
s : écart-type de l'échantillon
n : effectif de l'échantillon

Hypothèses testées

H0 : M = μ0
H1 bilatérale : M ≠ μ0 ou H1 unilatérale : M > μ0 ou M <μ0

Conditions d'application du test

La distribution de la variable doit être supposée normale dans la population d'où est issu l'échantillon.
Taille de l'échantillon n ≥ 30 sinon utiliser le test t de Student.

Test

Après avoir calculé l'erreur standard de la distribution d'échantillonnage de la moyenne M : erreur-standard-moyenne

Il faut calculer la statistique du test :

test-z

Règles de décision et conclusion du test

Si H1 bilatérale : valeur théorique critique zα = 5% = 1,96 dans la table normal centrée réduite

  • zobs < 1,96 : NRH0 d'où m n'est pas significativement différent de μ0
  • zobs ≥ 1,96 : RH0 d'où m diffère significativement de μ0

Si H1 unilatérale : valeur théorique critique zα = 10% = 1,65 dans la table normale centrée réduite

  • zobs < 1,65 : NRH0 d'où m n'est pas significativement différent de μ0
  • zobs ≥ 1,65 : RH0 d'où m diffère significativement de μ0

Comparaison des moyennes de deux échantillons indépendants

Objectif du test

Comparer les moyennes observées dans 2 échantillons.

Type de variable du test

Variable quantitative continue.

Données du test

μ1 et μ2 : moyennes inconnues des 2 populations d'où sont issus les échantillons
m1 et m2 : moyennes observées des 2 échantillons
S12 et S22 : variances des 2 échantillons
n1 et n2 : effectifs des 2 échantillons

Hypothèses testées

H0 : μ1 = μ2
H1 bilatérale : μ1 ≠ μ2 ou H1 unilatérale : μ1 > μ2 ou μ1 < μ2

Conditions d'application du test

Normalité des distributions d'où sont issus les 2 échantillons sinon utiliser le test de Wilcoxon.
Taille de chaque échantillon n ≥ 30 sinon utiliser le test t de Student.

Statistique du test

Les variances des moyennes des 2 populations peuvent être estimées par S12/n1 et S22/n2. La variance de la différence des 2 moyennes est égale à la somme des variances.

Après avoir calculé l'erreur standard de la distribution d'échantillonnage de la différence des 2 moyennes : erreur-standard-difference-moyenne

Il faut calculer la statistique du test :

test-z-2-moyennes

Règles de décision et conclusion du test

Si H1 bilatérale : valeur théorique critique zα = 5% = 1,96 dans la table normale centrée réduite

  • zobs < 1,96 : NRH0 d'où m1 n'est pas significativement différent de m2
  • zobs ≥ 1,96 : RH0 d'où m1 diffère significativement de m2

Si H1 unilatérale : valeur théorique critique zα = 10% = 1,65 dans la table normale centrée réduite

  • zobs < 1,65 : NRH0 d'où m1 n'est pas significativement différent de m2
  • zobs ≥ 1,65 : RH0 d'où m1 est significativement supérieure ou inféreure à m2

Comparaison des moyennes de deux échantillons appariés

Objectif du test

Comparer la moyenne observée avant traitement à celle observée après traitement pour un même échantillon. Chaque individu a donc 2 scores observés (xi , yi) .

Type de variable du test

Variable quantitative continue.

Données du test

xi et yi : scores observés dans chaque série
di : différence observée entre deux valeurs appariées
md : moyenne des différences
Sd2 : variance des différences
est σMd : erreur standard de la distribution d'échantillonnage de la moyenne des différences
n : nombre de couples appariés c-à-d nombre d'individus de l'échantillon

Hypothèses testées

H0 : md = 0
H1 bilatérale : md ≠ 0 ou H1 unilatérale : md > 0 ou md < 0

Conditions d'application du test

Normalité de la distribution sinon utiliser le test de Wilcoxon.
Nombre de paires de l'échantillon n ≥ 30 sinon utiliser le test t de Student pour séries appariées.

Statistique du test

Différence entre paires : di = xi - yi

Moyenne des différences : test-z-apparies-1

La variance des différences : test-z-apparies-2

Après avoir calculé l'erreur standard de la distribution d'échantillonnage de la moyenne des différences : test-z-apparies-3

Il faut calculer la statistique du test :

test-z-apparies-4

Règles de décision et conclusion du test

Si H1 bilatérale : valeur théorique critique zα = 5% = 1,96 dans la table normale centrée réduite

  • zobs < 1,96 : NRH0 d'où les moyennes des 2 séries ne diffèrent pas significativement
  • zobs ≥ 1,96 : RH0 d'où les moyennes des 2 séries diffèrent significativement

Si H1 unilatérale : valeur théorique critique zα = 10% = 1,65 dans la table normale centrée réduite

  • zobs < 1,65 : NRH0 d'où les moyennes des 2 séries ne diffèrent pas significativement
  • zobs ≥ 1,65 : RH0 d'où la moyenne d'une série est significativement supérieure ou inférieure à l'autre

Contenu 2


Ex 1 : Enoncé1
Solution1

Ex 2 : Ennoncé2
Solution2

Ex 3 : Ennoncé3
Solution3

Ex 4 : Ennoncé4
Solution4

Ex 5 : Ennoncé5
Solution5

Ex 6 : Ennoncé6
Solution6

Ex 7 : Ennoncé7
Solution7

Ex 8 : Ennoncé8
Solution8

Ex 9 : Ennoncé9
Solution9

Ex 10 : Ennoncé10
Solution10