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Test t de Student

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Comparaison de la moyenne d'un échantillon à une moyenne théorique

Objectif du test

Comparer la moyenne observée (m) d'un échantillon à une moyenne connue (μ0) d'une population de référence. En anglais "One Sample t test".

Type de variable du test

Variable quantitative continue.

Données du test

μ0 : moyenne théorique connue de la population de référence
M : moyenne inconnue de la population d'où est issu l'échantillon
n : effectif de l'échantillon
m : moyenne observée dans l'échantillon
s : écart-type de l'échantillon
est σM : erreur standard de la distribution d'échantillonnage de la moyenne M
ddl : nombre de degré de liberté

Hypothèses testées

H0 : M = μ0
H1 bilatérale : M ≠ μ0 ou H1 unilatérale : M > μ0 ou M <μ0

Conditions d'application du test

La distribution de la variable doit être supposée normale dans la population d'où est issu l'échantillon.
Taille de l'échantillon n < 30 sinon utiliser le test Z.

Test

1) Calculer l'erreur standard de la distribution d'échantillonnage de la moyenne M : erreur-standard-moyenne

2) Calculer ddl = n - 1

3) Calculer la statistique du test :

test-t

Règles de décision et conclusion du test

Si H1 bilatérale : valeur théorique critique t(ddl ; α = 5%) à lire dans la table t de Student

  • tobs < tddl ; α = 5% : NRH0 d'où m n'est pas significativement différent de μ0
  • tobs ≥ tddl ; α = 5% : RH0 d'où m diffère significativement de μ0

Si H1 unilatérale : valeur théorique critique tddl ; α = 10% à lire dans la table t de Student

  • tobs < tddl ; α = 10% : NRH0 d'où m n'est pas significativement différent de μ0
  • tobs ≥ tddl ; α = 10% : RH0 d'où m diffère significativement de μ0

Comparaison des moyennes de 2 échantillons indépendants

Objectif du test

Comparer les moyennes observées dans 2 échantillons. En anglais "Independent t test".

Type de variable du test

Variable quantitative continue.

Données du test

μ1 et μ2 : moyennes inconnues des 2 populations d'où sont issus les échantillons
n1 et n2 : effectifs des 2 échantillons
m1 et m2 : moyennes observées des 2 échantillons
S12 et S22 : variances des 2 échantillons
est σ(M1-M2) : erreur standard de la différence des distributions d'échantillonnage des 2 moyennes
ddl : nombre de degré de liberté

Hypothèses testées

H0 : μ1 = μ2
H1 bilatérale : μ1 ≠ μ2 ou H1 unilatérale : μ1 > μ2 ou μ1 < μ2

Conditions d'application du test

Normalité ou quasi normalité des distributions des populations d'où sont issus les 2 échantillons car le test est robuste sinon utiliser le test de Wilcoxon.

Les variances de ces 2 populations doivent être supposées égales (leur rapport ne devrait pas dépasser 3). Sinon, la taille des échantillons doit être équivalente.

Statistique du test

  • n1 = n2 = n

1) Calculer la variance pondérée des 2 échantillons de même taille : test-t-2-moyennes5

2) Calculer l'erreur standard de la différence des distributions d'échantillonnage des 2 moyennes : test-t-2-moyennes6

3) Calculer ddl = n + n - 2 = 2n - 2

4) Calculer la statistique du test :

test-t-2-moyennes4

  • n1 ≠ n2

1) Calculer la variance pondérée des 2 échantillons de taille différente : test-t-2-moyennes1

2) Calculer l'erreur standard de la différence des distributions d'échantillonnage des 2 moyennes : test-t-2-moyennes2

3) Calculer ddl = n1 + n2 - 2

4) Calculer la statistique du test :

test-t-2-moyennes3

Règles de décision et conclusion du test

Si H1 bilatérale : valeur théorique critique t(ddl ; α = 5%) à lire dans la table t de Student

  • tobs < tddl ; α = 5% : NRH0 d'où m1 n'est pas significativement différent de m2
  • tobs ≥ tddl ; α = 5% : RH0 d'où m1 diffère significativement de m2

Si H1 unilatérale : valeur théorique critique tddl ; α = 10% à lire dans la table t de Student

  • tobs < tddl ; α = 10% : NRH0 d'où m1 n'est pas significativement différent de m2
  • tobs ≥ tddl ; α = 10% : RH0 d'où m1 est significativement supérieure ou inférieure à m2

Comparaison des moyennes de 2 échantillons appariés

Objectif du test

Comparer la moyenne observée avant traitement à celle observée après traitement pour un même échantillon. Chaque individu a donc 2 scores observés (xi , yi) . En anglais "Paired t test".

Type de variable du test

Variable quantitative continue.

Données du test

n : nombre de couples appariés c-à-d nombre d'individus de l'échantillon
xi et yi : scores observés dans chaque série
di : différence observée entre deux valeurs appariées
md : moyenne des différences
Sd2 : variance des différences
est σMd : erreur standard de la distribution d'échantillonnage de la moyenne des différences
ddl : nombre de degré de liberté

Hypothèses testées

H0 : md = 0
H1 bilatérale : md ≠ 0 ou H1 unilatérale : md > 0 ou md < 0

Conditions d'application du test

Normalité de la distribution des différences sinon utiliser le test de Wilcoxon.
Nombre de paires de l'échantillon n < 30.

Statistique du test

1) Calculer les différences entre paires : di = xi - yi

2) Calculer la moyenne des différences : test-z-apparies-1

3) Calculer la variance des différences : test-z-apparies-2

4) Calculer l'erreur standard de la distribution d'échantillonnage de la moyenne des différences : test-z-apparies-3

5) Calculer ddl = n - 1

6) Calculer la statistique du test :

test-t-apparies-1

Règles de décision et conclusion du test

Si H1 bilatérale : valeur théorique critique t(ddl ; α = 5%) à lire dans la table t de Student

  • zobs < zα = 5% : NRH0 d'où les moyennes des 2 séries ne diffèrent pas significativement
  • zobs ≥ zα = 5% : RH0RH0 d'où les moyennes des 2 séries diffèrent significativement

Si H1 unilatérale : valeur théorique critique tddl ; α = 10% à lire dans la table t de Student

  • zobs < zα = 10% : NRH0 d'où les moyennes des 2 séries ne diffèrent pas significativement
  • zobs ≥ zα = 10% : RH0 d'où la moyenne d'une série est significativement supérieure ou inférieure à l'autre

Comparaison des moyennes de plus de 2 échantillons par la méthode des contrastes

A développer


Comparaison de la moyenne d'un échantillon à une moyenne théorique

Une compagnie pharmaceutique veut savoir si le procédé de fabrication qu’elle utilise fournit effectivement des comprimés dosés à 5 mg de principe actif d’un médicament. La quantité de principe actif est mesurée pour 100 comprimés issus d’un lot de fabrication. Le dosage moyen de principe actif est de 4,85 mg avec une variance estimée à partir de l'échantillon de 0,50). La quantité moyenne de principe actif mesurée dans les comprimés de ce lot s’écarte-t-elle significativement du dosage prévu par le processus de fabrication ?

  • Type de problème : Comparaison d’une moyenne observée sur un échantillon (100 comprimés) issu d’une population (lot de fabrication) à une valeur théorique (5 mg)

    exemple-t-student-1-1
  • Hypothèses du test statistique : elles sont formulées à partir des paramètres de la population (μ) et non pas des paramètres estimés (m)
    1. Hypothèse nulle (H0) : μ = μ0
      Le dosage en principe actif des comprimés du lot ne diffère pas du dosage prévu par le processus de fabrication (5 mg)
    2. Hypothèse alternative bilatérale (H1) : μ ≠ μ0
      Le dosage en principe actif des comprimés du lot diffère du dosage prévu par le processus de fabrication (5 mg)
  • Test statistique utilisé :
    2 tests de comparaison d’une moyenne observée à une valeur théorique sont possibles:
    a) Test z, étant donné que n = 100 (n > 30); test bilatéral car H0 : μ = μ0
    b) Test t de Student; test bilatéral car H0 : μ = μ0
  • Conditions d'application du test statistique :
    a) Test z : aucune condition
    b) Test t de Student : normalité de la distribution de la variable
  • Application du test statistique :
    a) Test z

    test-z

    exemple-t-student-1-2

    b) Test t de Student

  • test-t


    exemple-t-student-1-4

  • Conclusion du test statistique :
    a) Test z

    exemple-t-student-1-3

    Comparaison zobs au zthéorique :

    • Niveau de signification : α = 0,05 bilatéral car zobs peut être plus petit ou plus grand
    • α/2 = 0,025 de part et d'autre de la courbe normale
    • Rechercher dans la table z, le z pour une probabilité de 0,025 (plus petite portion) ou 0,975 (plus grande portion)
    • D'où : zthéorique (α/2=0,025) = 1,96

    zobs= |- 2,12| > zthéor = 1,96 : RH0 (Rejet H0) d'où H1

    p valeur :

    zobs= 2,12 d'où p valeur = 0,0170 x 2 (car bilatéral)= 0,034

    p valeur = 0,034 < α = 0,05

    Conclusion : le dosage en principe actif des comprimés du lot diffère du dosage prévu par le processus de fabrication (5 mg); p = 0,034

    b) Test t de Student

    exemple-t-student-1-5

    Comparaison tobs au tthéorique en bilatéral :

    • Niveau de signification : α = 0,05 bilatéral car tobs peut être plus petit ou plus grand
    • α/2 = 0,025 de part et d'autre de la courbe t de Student
    • degrés de liberté = n - 1 = 100 - 1 = 99
    • Rechercher dans la table t de Student, le t pour α = 0,05 bilatéral avec 99 ddl :
    • Dans la table normale standard est compris entre

      50 ddl ... t = 2,009
      100 ddl ... t = 1,984

      Règle de 3

      100 - 50 = 50 ... 1,984 - 2,009 = -0,025
      49 ... -0,0245

      50 + 49 = 99 ... 2,009 + (-0,0245) = 1,9845

    • D'où : tthéorique (α/2=0,025;ddl=99) = 1,9845
    tobs= |- 2,12| > tthéor = 1,9845 : RH0 (Rejet H0) d'où H1
  • p valeur :

    tobs= 2,12 d'où 0,02 < p valeur < 0,05

    exemple-t-student-1-6

    Conclusion : le dosage en principe actif des comprimés du lot diffère du dosage prévu par le processus de fabrication (5 mg); p < 0,05

Comparaison des moyennes de 2 échantillons indépendants

Pour déterminer s’il existait un lien entre l’allaitement maternel à la naissance et la pression artérielle dans l’enfance, une étude a consisté à mesurer la pression artérielle systolique à l’âge de 7 ans chez des enfants dont on savait s’ils avaient été allaités ou non.

La pression artérielle systolique moyenne mesurée à 7 ans était de 98,5 mmHg (écart type, 9,0) chez 5.478 enfants qui avaient été allaités à la naissance et de 99,9 mmHg (écart-type, 9,6) chez 1125 enfants qui n’ont pas été allaités à la naissance. La pression artérielles systolique est une variable de distribution normale.

La pression artérielle systolique mesurée à l’âge de 7 ans diffère-t-elle en fonction de l’allaitement maternel à la naissance ?

  • Type de problème : Comparaison de 2 moyennes observées sur 2 échantillons indépendants

    exemple-t-student-1-1

  • Hypothèses du test statistique :
    1. Hypothèse nulle (H0) : μ1 = μ2
      La pression artérielle systolique moyenne mesurée à l’âge de 7 ans ne diffère pas entre les enfants allaités et les enfants non-allaités à la naissance
    2. Hypothèse alternative bilatérale (H1) : μ1 ≠ μ2
      La pression artérielle systolique moyenne mesurée à l’âge de 7 ans diffère entre les enfants allaités et les enfants non-allaités à la naissance
  • Test statistique utilisé :
    Test t de Student pour 2 échantillons indépendants; test bilatéral car H0 : μ = μ0
  • Conditions d'application du test statistique :
    a) Les observations de pression artérielle systolique se distribuent normalement au sein des 2 échantillons, enfants allaités et enfants non-allaités à la naissance
    b) La variance de la pression artérielle systolique est comparable dans un rapport de 1 à 3 entre les enfants allaités et les enfants non-allaités à la naissance
  • Application du test statistique :

    b) Test t de Student indépendant avec n1 ≠ n2

  • test-t-2-moyennes3


    exemple-t-student-2-2

  • Conclusion du test statistique :

    Comparaison tobs au tthéorique en bilatéral :

    • Niveau de signification : α = 0,05 bilatéral car tobs peut être plus petit ou plus grand
    • α/2 = 0,025 de part et d'autre de la courbe t de Student
    • degrés de liberté = n1 + n2 - 2 = 5478 + 1125 - 2 = 6601
    • Rechercher dans la table t de Student, le t pour α = 0,05 bilatéral avec 6601 ddl :
    • D'où : tthéorique (α/2=0,025;ddl=6601) = 1,96
    tobs= |- 4,502| > tthéor = 1,96 : RH0 (Rejet H0) d'où H1

    p valeur :

    tobs= 4,502 d'où p valeur < 0,001

    exemple-t-student-2-3

    Conclusion : La pression artérielle systolique moyenne mesurée à 7 ans différait significativement entre les enfants allaités (98,5 mmHg, écart type = 9,0) et les enfants non-allaités (99,9 mmHg écart type = 9,6) à la naissance (P <0,001).

Comparaison des moyennes de 2 échantillons appariés

Les fumeurs ont un risque accru d’événements thrombotiques artériels, à l’origine notamment l’infarctus du myocarde. Les plaquettes sont des cellules sanguines périphériques qui sont impliquées dans la formation de ces caillots en s’agrégeant. Une étude a été conduite chez 11 sujets volontaires sains pour comparer l’agrégation des plaquettes avant et après qu’ils aient fumé une cigarette. A partir des données fournies dans le tableau suivant, déterminez si l’agrégation plaquettaire est modifiée après avoir fumé une cigarette ? On suppose les conditions de validité du test vérifiées.

exemple-t-student-3-1

  • Type de problème : Comparaison de 2 moyennes observées sur échantillons appariés
    • 2 mesures de l’agrégation plaquettaire sont effectuées chez chaque sujet : 1 avant et 1 après l’inhalation d’une cigarette. Les 2 mesures ne sont donc pas indépendantes et il faut prendre en compte cette dépendance dans l’analyse
    • Les 2 groupes (avant / après) ont un effectif identique.

    L’utilisation d’un test de comparaison de 2 moyennes pour échantillons indépendants conduirait à une diminution de la puissance de l’étude

  • Hypothèses du test statistique :
    1. Hypothèse nulle (H0) : μDifférence = 0 ou μAvant = μAprès
      L’agrégation plaquettaire moyenne ne diffère pas avant et après l’inhalation d’une cigarette
    2. Hypothèse alternative bilatérale (H1) : μDifférence ≠ 0 ou μAvant ≠ μAprès
      L’agrégation plaquettaire moyenne diffère avant et après l’inhalation d’une cigarette
  • Test statistique utilisé :
    Test t de Student pour 2 échantillons appariés car n = 11 < 30; test bilatéral car H0 : μ = μ0
  • Conditions d'application du test statistique :
    a) Nombre de paires inférieur à 30
    b) Normalité de distribution des différences individuelles (après – avant)
    c) Indépendance des paires/différences individuelles (la différence [après – avant] d’un individu est indépendante de la différence [après – avant] d’un autre individu)
  • Application du test statistique :

    b) Test t de Student apparié

  • test-t-apparies-1

    exemple-t-student-3-2

    exemple-t-student-3-4

    exemple-t-student-3-5

    exemple-t-student-3-3

  • Conclusion du test statistique :

    Comparaison tobs au tthéorique en bilatéral :

    • Niveau de signification : α = 0,05 bilatéral car tobs peut être plus petit ou plus grand
    • α/2 = 0,025 de part et d'autre de la courbe t de Student
    • degrés de liberté = n - 1 = 11 - 1 = 10
    • Rechercher dans la table t de Student, le t pour α = 0,05 bilatéral avec 10 ddl :
    • D'où : tthéorique (α/2=0,025;ddl=10) = 2,228
    tobs= 4,27 > tthéor = 2,228 : RH0 (Rejet H0) d'où H1

    p valeur :

    tobs= 4,27 d'où 0,001 < p valeur < 0,01

    exemple-t-student-2-3

    Conclusion : L’agrégation plaquettaire moyenne diffère significativement entre 2 mesures effectuées avant (42,6, écart-type 16,0) et après (52,9, écart-type 18,7) l’inhalation d’une cigarette chez des sujets volontaires sains (P < 0,01).

Comparaison des moyennes de plus de 2 échantillons par la méthode des contrastes


Ex 1 : Enoncé1
Solution1

Ex 2 : Ennoncé2
Solution2

Ex 3 : Ennoncé3
Solution3

Ex 4 : Ennoncé4
Solution4

Ex 5 : Ennoncé5
Solution5

Ex 6 : Ennoncé6
Solution6

Ex 7 : Ennoncé7
Solution7

Ex 8 : Ennoncé8
Solution8

Ex 9 : Ennoncé9
Solution9

Ex 10 : Ennoncé10
Solution10