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Test χ2 de liaison

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χ2 d'indépendance

Objectif du test

Tester l'indépendance entre 2 variables qualitatives à plusieurs modalités d'un échantillon.

Type de variable du test

Variables qualitatives nominales.

Données du test

oi : effectif observé par classe de la variable dans l'échantillon
ri : total de chaque ligne
cj : total de chaque colonne
N : effectif total général
eij : effectif attendu par classe de la variable et par échantillon
r : nombre de lignes (classes)
c : nombre de colonnes (echantillons)
ddl : degré de liberté

Hypothèses testées

H0 : 2 variables sont indépendantes
H1 bilatérale : 2 variables sont liées

Conditions d'application du test

Tous les effectifs attendus eij doivent être supérieurs ou égaux à 5. Dans le cas contraire, il faut regrouper certaines classes de la variable ou utiliser le test exact de Fisher si le tableau de contingence ne contient que 4 cases.

Statistique du test

Après avoir calculé les effectifs attendus de chaque classe au moyen de la formule suivante : test-khi2-effectif-attendu2

Tableau de contingence

Variable (xi)

Echantillons (Ej)
E1
...
Ej
...
Ec
Total
x1
o11
e11
...
...
o1j
e1j
...
...
o1c
e1c
r1
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
xi
oi1
ei1
...
...
oij
eiJ
...
...
oic
eic
ri
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
xr
or1
er1
...
...
orj
erj
...
...
orc
erc
rr
Total
c1
...
cj
...
cc
N

Il faut calculer la statistique du test :

test-khi2-homogeneite

Règles de décision et conclusion du test

H1 bilatérale valeur théorique critique χ2(ddl) α = 5%

    • χ2obs< χ2(ddl) α = 5% : NRH0 d'où les 2 variables ne sont pas significativement liées
    • χ2obsχ2(ddl) α = 5% : RH0 d'où les 2 variables sont significativement liées

χ2 de tendance

Objectif du test

Tester la liaison entre un pourcentage, variable binaire Y, et une variable X qualitative ordinale ou quantitative discrète. Ce test permet de conclure non seulement à une différence entre les pourcentages observés mais aussi à une relation entre l'augmentation ou la diminution du pourcentage en fonction de la variable X.

Type de variable du test

Variables qualitative binaire et qualitative ordinale ou quantitative discrète.

Données du test

xj : modalité ou classe de la variable X. Si variable ordinale, n° d'ordre à chaque modalité
o1j et o2j : effectifs observés par modalité ou classe de la variable dans l'échantillon
r1 et r2 : total de chacune des 2 lignes
cj : total de chaque colonne
N : effectif total général
eij : effectif attendu par modalité ou classe de la variable
c : nombre de colonnes (modalités ou classes de la variable)
ddl : degré de liberté

Hypothèses testées

H0 : pourcentages identiques
H1 bilatérale : pourcentages varient en fonction de la variable X

Conditions d'application du test

Tous les effectifs attendus eij doivent être supérieurs ou égaux à 5. Dans le cas contraire, il faut regrouper certaines classes de la variable X et numéroter cette classe en lui donnant la valeur moyenne des classes regroupées.

Il faut aussi que la liaison entre Y et X soit supposée linéaire.

Statistique du test

Après avoir calculé les effectifs attendus de chaque classe au moyen de la formule suivante : test-khi2-effectif-attendu2

Tableau de contingence

Variable binaire Y

Variable X
x1
...
xj
...
xc
Total

Y1= présence

o11
e11
...
...
o1j
e1j
...
...
o1c
e1c
r1
Y2 = absence
o21
e21
...
...
o2j
e2j
...
...
o2c
e2c
r2
Total
c1
...
cj
...
cc
N

Il faut calculer la statistique du test :

test-khi2-tendance

Règles de décision et conclusion du test

H1 bilatérale valeur théorique critique χ2(ddl) α = 5%

    • χ2obs< χ2(ddl) α = 5% : NRH0 d'où nous ne pouvons pas affirmer que les pourcentages sont différents
    • χ2obsχ2(ddl) α = 5% : RH0 d'où les pourcentages augmentent ou diminuent significativement en fonction de la variable X mais sans pouvoir affirmer une relation de causalité

contenu


Ex 1 : Enoncé1
Solution1

Ex 2 : Ennoncé2
Solution2

Ex 3 : Ennoncé3
Solution3

Ex 4 : Ennoncé4
Solution4

Ex 5 : Ennoncé5
Solution5

Ex 6 : Ennoncé6
Solution6

Ex 7 : Ennoncé7
Solution7

Ex 8 : Ennoncé8
Solution8

Ex 9 : Ennoncé9
Solution9

Ex 10 : Ennoncé10
Solution10