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Tests de comparaison des rangs

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  • Exercices


Comparaison
des rangs deux échantillons indépendants : Test de Mann-Whitney

Objectif du test

Comparer 2 échantillons d'une variable quantitative mais contrairement aux tests z et t de Student, ce test ne s'intéresse pas aux valeurs de la variable des échantillons mais à leurs rangs. Il s'agit donc d'un test non paramétrique.

Type de variable du test

Variable quantitative.

Données du test

n1 et n2 : effectif de chaque échantillon
N : effectif total

Hypothèses testées

H0 : distributions superposées
H1 bilatérale : distributions décalées
H1 unilatérale : distributions décalées dans un sens ou dans l'autre

Conditions d'application du test

Effectifs des 2 échantillons doivent être supérieurs à 10 et ne pas comporter trop de valeurs ex-aequo.

Il n'y a pas de condition pour la distribution de la population, notamment pour les échantillons de petite taille, le test n'exige pas une distribution normale.

Statistique du test

Après avoir classé toutes les observations des 2 séries de données par ordre croissant, on donne un numéro d'ordre à chacune des valeurs.On définit ainsi leur rang. S'il existe des ex-aequo, on calcule leur rang moyen.

Il faut calculer ensuite :

  • la somme des rangs de la série 1 : w1
  • la somme attendue : wa = n1(N + 1)/2
  • la variance de w1 : S2w1 = n1n2(N + 1)/12

S'il existe de nombreux ex-aequo, il faut une formule de la variance corrigée.

Nous calculons alors la statistique du test :

test-wilcoxon1

car sous H0, la différence des rangs d'une des séries et sa valeur attendue fluctue autour de zéro et le rapport de cette différence sur son erreur standard suit une loi normale centrée réduite z.

Règles de décision et conclusion du test

Si H1 bilatérale : valeur théorique critique zα = 5% = 1,96 dans la table normale centrée réduite

  • zobs < 1,96 : NRH0 d'où les distributions ne sont pas significativement décalées
  • zobs ≥ 1,96 : RH0 d'où les distributions sont significativement décalées

Si H1 unilatérale : valeur théorique critique zα = 10% = 1,65 dans la table normale centrée réduite

  • zobs < 1,65 : NRH0 d'où les distributions sont significativement décalées
  • zobs ≥ 1,65 : RH0 d'où les distributions sont significativement décalées dans un sens donné

Comparaison des rangs de deux échantillons appariés : Test de Wilcoxon

Objectif du test

Comparer 2 échantillons d'une variable quantitative lorsque chaque observation d'un échantillon est lié à une observation de l'autre échantillon formant une paire de valeurs par unité statistique. Contrairement aux tests z et t de Student appariés, ce test ne s'intéresse pas aux valeurs des différences des 2 échantillons mais aux rangs des différences. Il s'agit donc d'un test non paramétrique.

Type de variable du test

Variables quantitatives.

Données du test

n : nombre de couple apparié dont la différence n'est pas nulle
wp et wn : somme des rangs des différences positives et négatives

Hypothèses testées

H0 : distribution des différences centrée autour de 0
H1 bilatérale : distribution des différences décalées par rapport à 0
H1 unilatérale : distribution des différences décalées positivement ou négativement

Conditions d'application du test

Nombre de paires de différence non nulle doit être supérieur à 20 et ne pas comporter trop de valeurs ex-aequo.

Il n'y a pas de condition pour la distribution de la différence des valeurs, notamment pour les échantillons de petite taille, le test n'exige pas une distribution normale.

Statistique du test

Après avoir calculé les différences des 2 échantillons et classé ces différences selon leur valeur absolue par ordre croissant, on donne un numéro d'ordre à chacune des valeurs absolues. On définit ainsi leur rang. S'il existe des ex-aequo, on calcule leur rang moyen.

Il faut calculer ensuite :

  • la somme des rangs des différences positives : wp
  • la somme attendue : wa = n(n + 1)/4
  • la variance de wp : S2wp = n(n + 1)(2n + 1)/24

S'il existe de nombreux ex-aequo, il faut une formule de la variance corrigée.

Nous calculons alors la statistique du test :

test-wilcoxon-apparie

car sous H0, la différence des rangs d'une des séries et sa valeur attendue fluctue autour de zéro et le rapport de cette différence sur son erreur standard suit une loi normale centrée réduite z.

Règles de décision et conclusion du test

Si H1 bilatérale : valeur théorique critique zα = 5% = 1,96 dans la table normale centrée réduite

  • zobs < 1,96 : NRH0 d'où les distributions ne sont pas significativement décalées
  • zobs ≥ 1,96 : RH0 d'où les distributions sont significativement décalées

Si H1 unilatérale : valeur théorique critique zα = 10% = 1,65 dans la table normale centrée réduite

  • zobs < 1,65 : NRH0 d'où les distributions ne sont pas significativement décalées
  • zobs ≥ 1,65 : RH0 d'où les distributions sont significativement décalées dans un sens donné

Comparaison des rangs de plus de deux échantillons : Test de Kruskal-Wallis

Objectif du test

Comparer les moyennes observées de plus de 2 échantillons d'une variable quantitative mais contrairement aux tests z et t de Student, ce test ne s'intéresse pas aux valeurs moyennes des échantillons mais à leurs rangs moyens. Il s'agit donc d'un test non paramétrique.

Type de variable du test

Variables quantitatives.

Données du test

ni : effectif de chaque échantillon
N : effectif total
c : nombre d'échantillons à comparer
test-kruskal-wallis1 : rang moyen de chaque échantillon
test-kruskal-wallis2 : rang moyen général
ddl : degré de liberté

Hypothèses testées

H0 : distributions superposées
H1 bilatérale : distributions décalées

Conditions d'application du test

Effectif de chaque échantillon doit être supérieur à 10 et ne pas comporter trop de valeurs ex-aequo.

Contrairement au test F de Fisher-Snedecor, ce test n'exige aucune condition de normalité ou d'égalité de variance des distributions des valeurs de la variable des échantillons.

Statistique du test

Après avoir mélangé toutes les valeurs des échantillons, on les classe par ordre croissant et on donne un numéro d'ordre à chacune d'entre elles. On définit ainsi leur rang. S'il existe des ex-aequo, on calcule leur rang moyen.

Nous calculons alors la statistique du test :

test-kruskal-wallis3

car sous H0, les différences entre les rangs moyens de chacun des échantillons et le rang moyen général est nulle et la statistique de test calculée ci-dessus suit une loi χ2 à c - 1 ddl

Règles de décision et conclusion du test

H1 bilatérale valeur théorique critique χ2(ddl) α = 5%

    • χ2obs< χ2(ddl) α = 5% : NRH0 d'où les distributions ne sont pas significativement décalées et les moyennes des échantillons ne diffèrent pas entre elles
    • χ2obsχ2(ddl) α = 5% : RH0 d'où les distributions sont significativement décalées et dans ce cas les moyennes des échantillons diffèrent significativement entre elles

Contenu 2


Ex 1 : Enoncé1
Solution1

Ex 2 : Ennoncé2
Solution2

Ex 3 : Ennoncé3
Solution3

Ex 4 : Ennoncé4
Solution4

Ex 5 : Ennoncé5
Solution5

Ex 6 : Ennoncé6
Solution6

Ex 7 : Ennoncé7
Solution7

Ex 8 : Ennoncé8
Solution8

Ex 9 : Ennoncé9
Solution9

Ex 10 : Ennoncé10
Solution10