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Test F de Fisher-Snedecor

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Comparaison des variances de deux échantillons

Objectif du test

Comparer les variances de 2 échantillons ou populations.

Vérifier les conditions d'application de certains tests paramétriques exigeant des variances identiques, tels t de Student.

Type de variable du test

Variable quantitative continue.

Données du test

σ12 et σ22 : variances inconnues des 2 populations d'où sont issus les échantillon
S12 et S22 : variances des 2 échantillons
n1 et n2 : effectifs des 2 échantillons
ddl1 = n1 - 1 : degrés de liberté du 1er échantillon
ddl2= n2 - 1 : degrés de liberté du 2ème échantillon

Hypothèses testées

H0 : σ12 = σ22
H1 bilatérale : σ12 ≠ σ22 ou H1 unilatérale : σ12 > σ22

Conditions d'application du test

Normalité des 2 populations d'où sont issus les échantillons.

Test

Il faut calculer la statistique du test qui est le rapport des 2 variances S12 et
S22 en prenant pour S12 la variance la plus élevée.

test-F

Règles de décision et conclusion du test

Si H1 bilatérale : valeur théorique critique F(ddl1,ddl2) α = 2,5% à lire dans la table F de Fisher-Snedecor

  • Fobs < F(ddl1,ddl2) α = 2,5% : NRH0 d'où S12 ne diffère pas significativement de S22
  • Fobs ≥ F(ddl1,ddl2) α = 2,5% : RH0 d'où S12 diffère significativement de S22

Si H1 unilatérale : valeur théorique critique F(ddl1,ddl2) α = 5% dans la table F de Fisher-Snedecor

  • Fobs <F(ddl1,ddl2) α = 5% : NRH0 d'où S12 ne diffère pas significativement de S22
  • Fobs ≥ F(ddl1,ddl2) α = 5% : RH0 d'où S12 diffère significativement de S22

Comparaison des moyennes de plus de deux échantillons : ANOVA ou Analysis Of Variance

Objectif de l'ANOVA

Comparer les variances de plus de 2 échantillons.

Type de variable du test

Etudier le comportement d'une variable continue à expliquer, appelée variable dépendante, en fonction d'une variable explicative catégorielle, appelée variable indépendante (variable à plus de 2 niveaux fixes).

Types d'ANOVA

ANOVA à postériori

ANOVA à priori par contrastes linéaires

Supposons les deux estimations de variance suivantes : S12= 4000 basée sur un échantillon de n1= 20 données et S22 = 6000 avec un échantillon de n2 = 10 données.

La statistique de test est alors distribuée selon une distribution F à 9 et 19 degrés de liberté. La statistique de test est calculée comme suit :

F(9, 19)obs =6000/4000 = 1,5

Si les estimations 1 et 2 étaient basées sur n1 = 10 et n2 = 20 données, la valeur calculée de la statistique serait la même mais avec une inversion des degrés de liberté.

F(19,9)obs =6000/4000 = 1,5

Il faut vérifier dans la table F si ces valeurs observées de F sont égales ou supérieures aux valeurs théoriques.

  • La valeur théorique critique F(9, 19) = 2,42. Donc le test donne un résultat non significatif puisque la valeur observée de la statistique de test est inférieure à la valeur théorique (1,5 < 2,42 ; donc, p > 0,05)
  • La valeur théorique critiqueF(19,9) n’est pas disponible dans la table mais on dispose des valeurs F(15, 9) = 3,01 et F(20, 9) = 2,94. Donc, le test donne un résultat non significatif puisque la valeur observée de la statistique de test est inférieure à la valeur théorique (1,5 < 2,94, donc 1,5 est aussi inférieur à une valeur plus élevée proche de 3,01).

Ex 1 : Enoncé1
Solution1

Ex 2 : Ennoncé2
Solution2

Ex 3 : Ennoncé3
Solution3

Ex 4 : Ennoncé4
Solution4

Ex 5 : Ennoncé5
Solution5

Ex 6 : Ennoncé6
Solution6

Ex 7 : Ennoncé7
Solution7

Ex 8 : Ennoncé8
Solution8

Ex 9 : Ennoncé9
Solution9

Ex 10 : Ennoncé10
Solution10