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Anova à priori par contrastes linéaires

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Cette méthode, moins utilisée dans la littérature, a un grand avantage : elle permet de tester une prédiction, une hypothèse particulière, sans devoir tester toutes les comparaisons de moyennes.

Elle permet de comparer a priori une relation particulière entre moyennes.

Cette relation est définie sous forme de contraste linéaire (CL1) c-à-d une combinaison linéaire des moyennes des populations dont la somme des coefficients vaut 0. En effet, il s’agit de comparer des groupes de moyennes qui, sous l’hypothèse H0, ne doivent pas mettre en évidence de différence significative, donc CL = 0.

Voici les règles d’attribution des coefficients du CL :

    1. Mettre les 2 ensembles de moyennes à comparer de part et d'autre d'un signe =
    2. Attribuer un coefficient = 0 aux moyennes n’intervenant pas dans le contraste
    3. Assigner comme pondération à chaque ensemble l’inverse du nombre de groupe de cet ensemble.
    4. Mettre tous les coefficients du même côté du signe = en attribuant arbitrairement à un des ensembles un signe négatif. En conséquence, l’estimation de la valeur du contraste sera tantôt positive, tantôt négative
    5. Pour les groupes qui font partie du même ensemble, le coefficient a est identique, la somme de tous les coefficients a = 0 et somme de valeur absolue de tous les coefficients = 2
    6. Remettre tous les coefficients au même dénominateur

    Garder uniquement le numérateur pour définir H0 et H1

Exemple : 4 moyennes μ1, μ2, μ3 et μ4

    1. A priori nous posons comme hypothèse H0 : μ1 = μ2 et μ3
    2. μ4 n'est pas pris en compte dans la comparaison d'où μ4 = 0
    3. 1/1 μ1= 1/2 μ2 + 1/2 μ3
    4. 1/1 μ1 - 1/2 μ2 - 1/2 μ3 = 0
    5. 1/1 - 1/2 - 1/2 = 0 et |1/1| + |- 1/2| + |- 1/2| = 2
    6. 2/2 μ1 - 1/2 μ2 - 1/2 μ3 = 0

CL1 en bilatéral :

H0 : 2 μ1 - 1 μ2 - 1 μ3 + 0 μ4 = 0
H1 : 2 μ1 - 1 μ2 - 1 μ3 + 0 μ4 ≠ 0

CL1 en unilatéral

H0 : 2 μ1 - 1 μ2 - 1 μ3 + 0 μ4 ≤ 0
H1 : 2 μ1 - 1 μ2 - 1 μ3 + 0 μ4 > 0

Il est évident qu'un chercheur souhaite que son CL1 soit significativement différent de (bilatéral) ou supérieur à (unilatéral) 0 mais il doit s’assurer que la signification provienne uniquement de celui-ci et pas d’autres sources de variation. Par conséquent, tous les autres CL potentiels doivent être non significatifs au niveau bilatéral. En effet, nous n’avons pas besoin de prédire pour ceux-ci le sens de la différence.

Avec m modalités de la variable indépendante, il est possible de comparer (m-1) CL. Il faut également que tous les CL soient indépendants les uns des autres. Une paire de CL est indépendante lorsque la somme des produits des coefficients pour chaque condition est égale à 0.

N’importe quel CL qui répond à ces 2 conditions peut être comparé à l'hypothèse fixée à priori. La table des coefficients d’Helmert permet de déterminer les coefficients des CL au sein des sous-groupes qu’on compare dans l'hypothèse (CL1).

Exemple suite : 4 moyennes μ1, μ2, μ3 et μ4

m = 4 d'où m - 1 = 4 - 1 = 3 CL à comparer

Pour la création des 2 autres CL, on est libre de faire appel à son bon sens et à la table d’Helmert, tant qu'on vérifie l’indépendance de chaque paire de contrastes.

Pour le CL2, il peut être intéressant de savoir si les deux moyennes μ3 et μ4 sont égales puisque dans CL1, elles font partie du même ensemble. Via les mêmes 6 étapes, il faut attribuer des coefficients au CL2.

CL2 en bilatéral :

H0 : 0 μ1 + 1 μ2 - 1 μ3 + 0 μ4 = 0
H1 : 0 μ1 + 1 μ2 - 1 μ3 + 0 μ4 ≠ 0

Il faut vérifier maintenant l'indépendance de CL1 et CL2 :

(2*0) + (-1*1) + (-1*-1) + (0*0) = -1 + 1 = 0 d'où indépendance entre CL1 et CL2

Par curiosité, on peut également s’intéresser à μ4 par rapport aux trois autres puisque l'hypothèse à priori CL1 ne s’en soucie pas. Via les mêmes 6 étapes, il faut attribuer des coefficients à cette relation particulière entre les moyennes.

CL3 en bilatéral :

H0 : - 1 μ1 - 1 μ2 - 1 μ3 + 3 μ4 = 0
H1 : - 1 μ1 - 1 μ2 - 1 μ3 + 3 μ4 ≠ 0

Il faut vérifier maintenant l'indépendance de CL1 et CL3 :

(2*-1) + (-1*-1) + (-1*-1) + (0*3) = -2 + 1 + 1 = 0 d'où indépendance entre CL1 et CL3

Il faut vérifier maintenant l'indépendance de CL2 et CL3 :

(0*-1) + (1*-1) + (-1*-1) + (0*3) = 0 - 1 + 1 = 0 d'où indépendance entre CL1 et CL3

Si par test, on pourra déterminer que CL1 est significatif ssi :

  • CL1 est significatif
  • Les autres CL (CL2 et CL3) sont non significatifs

L'hypothèse à priori est dans ce cas confirmée car la signification est due uniquement à CL1 et pas aux autres CL.

Si l'hypothèse à priori CL1 est significative ainsi que les autres CL, il est impossible de savoir si la signification du test est due à la relation qui est prédite dans l'hypothèse de recherche ou aux autres sources de variation. Il faut effectuer une ANOVA à posteriori pour savoir qu’elles sont les paires de moyennes qui diffèrent des autres.

Si CL1 est non significatif, il est inutile de réaliser les autres CL; il faut faire une ANOVA à posteriori.


Contenu 2


Ex 1 : Enoncé1
Solution1

Ex 2 : Ennoncé2
Solution2

Ex 3 : Ennoncé3
Solution3

Ex 4 : Ennoncé4
Solution4

Ex 5 : Ennoncé5
Solution5

Ex 6 : Ennoncé6
Solution6

Ex 7 : Ennoncé7
Solution7

Ex 8 : Ennoncé8
Solution8

Ex 9 : Ennoncé9
Solution9

Ex 10 : Ennoncé10
Solution10