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Théorie des probabilités

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Définitions : expérience aléatoire, univers et évènement

Une expérience aléatoire est un processus qui, lors de chaque réalisation, engendre un et un seul événement élémentaire parmi un ensemble d’événements possibles.

L'univers ou ensemble référentiel Ω (oméga) est l’ensemble de tous les événements élémentaires possibles d’une expérience aléatoire. Attention, cet univers varie non seulement selon l'expérience aléatoire considérée mais également en fonction des objectifs poursuivis au sein de cette expérience.

Un évènement A est constitué d'une partition de l'univers, c-à-d un sous-ensemble A de Ω (A ⊂ Ω) contenant :

  • soit, un évènement élémentaire ou simple
  • soit, un évènement composé de plusieurs événements élémentaires

Un évènement A est dit réalisé, si le résultat {a} produit lors de l'expérience aléatoire appartient à l'ensemble A, soit a ∈ A.

L'évènement critique A est celui auquel nous nous intéressons et dont nous recherchons la probabilité, P(A).

Concepts de probabilité

Pour qu’il soit question de probabilité, il faut évidemment qu’il soit question de hasard, c-à-d qu'il existe un certain degré d'incertitude quant à l'occurrence de chaque évènement élémentaire possible lors de chaque essai de l'expérience aléatoire. Ce qui veut dire que :

  • D'une part, si l’on regarde une pièce de monnaie tombée sur le côté face, inutile de se demander quelle est la probabilité d’occurrence de l'évènement "face". Elle est de 100% puisque l'évènement est réalisé, et qu’il est certain que la pièce soit tombée du côté face
  • D'autre part, on peut en tirer une règle d’or : les probabilités n’ont pas de mémoire. Peu importe ce qui s’est passé avant le moment où l'on calcule la probabilité, rien n’influe jamais sur les probabilités futures. Si l'évènement "pile" est apparu 6 fois d'affilée, il a toujours 50% de chance qu'il se réalise au 7ème lancer

Définition analytique de la probabilité à priori

Il s'agit de la notion de probabilité au sens classique, dite à priori car la probabilité d'un évènement A est obtenue sans même se livrer une seule fois à l'expérience aléatoire.

Soit Ω, univers fondamental, c-à-d constitué de N événements élémentaires, mutuellement exclusifs, exhaustifs et équiprobables ayant donc la même probabilité de se produire, alors la probabilité qu’un évènement A se réalise, notée P(A), est le rapport entre le cardinal de A et le cardinal de Ω :

probabilite-classique1

Pour calculer des propbabilités à l'aide de cette formule, nous devrons faire appel aux techniques de dénombrement expliquée par l'analyse combinatoire.

Ou encore le rapport entre le nombre de cas favorables à la réalisation de l'évènement A et le nombre de cas possibles N :

probabilite classique 2

Ce rapport est une fréquence relative, c-à-d un nombre variant entre 0 et 1.

Définition empirique de la probabilité à postériori

Il s'agit de la notion de probabilité au sens fréquentiste basée sur la loi des grands nombres qui dit que :

La fréquence relative d'un évènement A tend vers la probabilité de l'évènement P(A) lorsque le nombre d'essais N de l'expérience aléatoire tend vers l'infini :

probabilité empirique 1

avec :

k = nombre d'expériences où A est réalisé
n = nombre de répétitions de l'expérience aléatoire

Cette idéalisation de la notion de fréquence relative observée s'appelle la fréquence relative théorique.
Ceci est vrai même pour des évènements non équiprobables pour autant que les essais soient indépendants et aléatoires.

Lois fondamentales des probabilités

Axiomes de Kolmogorov

Soit un univers Ω associé à une expérience aléatoire, la fonction P définie pour tout sous-ensemble A de Ω est appelée fonction de probabilité.

P(A) consiste en un nombre réel et est appelée probabilité de l'évènement A si la fonction P satisfait les 3xiomes suivants :

  • Axiome 1 : Pour tout évènement A, P(A) ≥ 0
  • Axiome 2 : P(Ω) = 1

En combinant l'axiome 1 et 2 : Pour tout évènement A ⇒ 0 ≤ P(A) ≤ 1

  • Axiome 3 :
    Si A1, A2, ..., An sont n évènements mutuellement exclusifs (incompatibles ou disjoints) c-à-d qu'ils ne peuvent se produire simultanément lors d'un essai ⇒ (Ai ∩ Aj) = ∅ et P(Ai ∩ Aj) = 0

    Alors : P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An)

Probabilité d'évènements particuliers

La probabilité d'un évènement impossible est égale à 0, il s'agit de l'ensemble vide ⇒ P(∅) = 0

L'évènement certain est égale à 1, il s'agit de l'univers ⇒ P(Ω) = 1

Soit A un évènement dans Ω et ∼ A l'évènement complémentaire de A, nous pouvons dire :

  • P(A ∪ ∼ A) = P(A) + P(∼ A) = 1 ⇒ P(A) = 1 - P(∼ A) ou P(∼ A) = 1 - P(A)
  • P(A ∩ ∼ A) = 0

Cas des évènements exhaustifs dans Ω

2 évènements A et B sont dits exhaustifs s'ils constituent une partition de l'univers en 2 sous-ensembles A et B qui sont tels qu'il n'existe aucun évènement élémentaire appartenant à Ω qui n'appartienne pas aussi à un des 2 sous-ensembles ⇒ Ω = ⎨A, B⎬

  • Soit 2 évènements A et B exhaustifs dans Ω et mutuellement exclusifs (disjoints ou incompatibles) dans Ω, nous avons :

    P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 1

  • Soit 2 évènements A et B exhaustifs dans Ω et non mutuellement exclusifs (conjoints ou compatibles), nous avons :

    P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 1

    Nous retrouvons le cas particulier ci-dessus où A et B sont mutuellement exclusifs, étant donné que dans ce cas P(A ∩ B) = 0

Autres propriétés

Soit l'univers Ω, A et B des évènements quelconques (A, B ⊂ Ω)

P (A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ ∼B) avec ∼B complémentaire de B

P(A\B) = P(A) - P(A ∩ B) avec A\B signifiant A sans B

Si A ⊂ B, alors P(A) ≤ P(B)

Soient E un évènement (E ⊂ Ω) et A1, A2, ..., Ann des évènements formant une partition de Ω

P(E) = P(A1 ∩ E) + P(A2 ∩ E) + ... + P(An ∩ E)

Types de représentation des évènements

Comme nous le voyons, il existe une étroite relation entre la théorie des probabilités et la théorie des ensembles. Les évènements étant des ensembles, ils peuvent donc être représentés par des diagrammes de Venn. Ceux-ci sont surtout intéressants lorsque nous voulons visualiser les évènements et leurs intersections.

Un autre type de représentation est le diagramme en arbre. Celui-ci est très utile lorsque l'expérience aléatoire s'effectue en plusieurs étapes car il permet d'établir facilement la liste de tous les évènements élémentaires à chacune des étapes et d'en calculer aisément les probabilités conditionnelles.

Probabilité conditionnelle

La recherche de la probabilité d'un évènement B dans une expérience aléatoire sachant que A est déjà réalisé est notée P(A⎟B) et s'appelle une probabilité conditionnelle.

Il y a 3 cas de figure :

  • Le temps n'est pas une notion importante et les évènements A et B ont peut-être des liens ou de l'influence entre eux (non indépendants). Nous nous intéressons à P(A⎟B) et P(B⎟A)
  • Le temps est une notion importante, l'étape de l'expérience permettant à A de se réaliser ou non survient avant l'étape permettant à B de se réaliser ou non. Nous nous intéressons à :
    • Soit la probabilité que B se réalise sachant que l'évènement A s'est déjà réalisé auparavant : P(B⎟A), appelée probabilité conditionnelle à priori
    • Soit la probabilité que A se soit réalisé sachant que l'évènement B s'est réalisé après : P(A⎟B), appelée probabilité conditionnelle à postériori

Soit 2 évènements A et B exhaustifs dans Ω et non mutuellement exclusifs (conjoints ou compatibles).

Tableau de contingence indiquant les fréquences absolues n et les probabilités P estimées par les fréquences relatives : f = n/N
  B ∼B Totaux
A
n(A ∩ B)
P(A ∩ B)
n(A ∩ ∼B)
P(A ∩ ∼B)
n(A)
P(A)
∼A
n(∼A ∩ B)
P(∼A ∩ B)
n(∼A ∩ ∼B)
P(∼A ∩ B)
n(∼A)
P(∼A)
Totaux
n(B)
P(B)
n(∼B)
P(∼B)
N
P(Ω) = 1

Dans chaque marge, nous avons les probabilités marginales des 2 évènements A et B et de leur complémentaire : P(A), P(∼A), P(B) et P(∼B)

  • Si les évènements A et B sont non indépendants, nous calculons :

    Les probabilités conditionnelles : P(A⎟B), P(B⎟A), P(∼ A⎟B), P(B⎟∼ A), P(A⎟∼ B), P(∼ B⎟A), P(∼ A⎟∼ B) et P(∼ B⎟∼ A)

    P(A⎟B) est la probabilité de A étant donné B ou A sachant B, elle se calcule à partir de la colonne gauche :

    P(A⎟B) = P(A ∩ B) / P(B) ssi P(B) > 0

    P(B⎟A) est la probabilité de B étant donné A ou B sachant A, elle se calcule à partir de la première ligne :

    P(B⎟A) = P(A ∩ B) / P(A) ssi P(A) > 0

    Les probabilités conjointes : P(A ∩ B), P(∼A ∩ B), P(A ∩ ∼B) et P(∼A ∩ B)

    P(A ∩ B) = P(A⎟B) . P(B) = P(B⎟A) . P(A)

  • Si les évènements A et B sont indépendants, c-à-d que la survenue de l'un ne change pas la probabilité de l'autre, nous calculons :

    Les probabilités conditionnelles : P(A⎟B), P(B⎟A), P(∼ A⎟B), P(B⎟∼ A), P(A⎟∼ B), P(∼ B⎟A), P(∼ A⎟∼ B) et P(∼ B⎟∼ A)

    P(A⎟B) = P(A)

    P(B⎟A) = P(B)

  • Les probabilités conjointes : P(A ∩ B), P(∼A ∩ B), P(A ∩ ∼B) et P(∼A ∩ B)

    P(A ∩ B) = P(A) . P(B)

Règles d'addition et de multiplication des probabilités

La règle d'addition permet de trouver la probablité qu'au moins 1 des 2 évènements se réalise. Elle requiert que ces évènements soient mutuellement exclusifs

addition des probabilités

La règle de multiplication permet de trouver la probabilité que 2 évènements se réalisent conjointement. Elle requiert que ces évènements soient indépendants

multiplication des probabilités

Théorème des probabilités totales de Bayes

Soient A1, A2, ..., An des évènements formant une partition de Ω

Soit E un évènement à postériori pour lequel on connaît : P(E⎟A1), P(E⎟A2), ..., P(E⎟An)

La probabilité de l'évènement E est :

théorème de Bayes

La probabilité conditionnelle de l'évènement P(Ai⎟E) est :

théorème de Bayes


Univers

Univers différents selon l'expérience aléatoire

Expérience 1 : Tirer une boule d’une urne contenant 1 boule noire, 2 blanches, 5 rouges
Ω = {noire, blanche, rouge}; taille = 3 évènements élémentaires

Expérience 2 :Tirer deux boules d’une urne contenant 1 boule noire, 2 blanches, 5 rouges
Ω = {{noire, blanche}, {noire, rouge}, {blanche, blanche}, {blanche, rouge}, {rouge, rouge}}; taille = 5 évènements composés

Univers différents selon l'objectif au sein de l'expérience aléatoire

Jeter un dé à six faces numérotées :

  • Observer le nombre de la face du dé : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; taille 6
  • Observer la parité de la face : Ω = {pair, impair} = {{2, 4, 6}, {1, 3, 5}}; taille 2
  • Observer que le nombre obtenu soit ≤ 3 ou ≥ 4 : Ω={{1,2,3},{4,5,6}}; taille 2
  • Observer un nombre inférieur à 7 : Ω; taille 6
  • Observer un nombre divisible par 7 : ∅; taille 0

Au résultat pile du lancer d’une pièce, on associe la valeur 1 et la valeur –1 à face

  1. Nous effectuons 3 lancers successifs et nous nous intéressons aux résultats obtenus
  2. Nous effectuons 3 lancers successifs et nous nous intéressons à la somme des résultats obtenus

Diagramme en arbre

exemple-probabilite-diagramme-en-arbre

  1. Ω = {{PPP},{PPF},{PFP}, {PFF},{FPP},{FPF},{FFP},{FFF}}; taille 8
  2. Ω = {-3,-1,1,3}; taille 4

Calcul de probabilité classique

Une urne contient des boules identiques : 3 boules rouges numérotées de 1 à 3 et 4 boules vertes numérotées de 1 à 4. Nous tirons au hasard 2 boules successivement, sans remise, et on regarde la couleur et le numéro des boules tirées. Quelle est la probabilité d'obtenir une seule boule verte ?

Diagramme en arbre

diagramme en arbre 2

Nombre de cas possibles :
Lors du 1er tirage, il y a 7 possibilités. Pour chacun de ces 1ers tirages, il reste 6 possibilités pour la 2ème boule.
7 x 6 = 42 tirages possibles

Nombre de cas favorables :
Il y a 4 x 3 = 12 possibilités de tirer d'abord une boule verte, ensuite une boule rouge. De même, il y a 4 x 3 = 12 possibilités de tirer d'abord une boule rouge, ensuite une boule verte.
12 + 12 = 24 tirages favorables

Probabilité : probabilite classique

Utilisation des propriétés des probabilités

Evènements complémentaires

Dans un jeu bien mélangé de 52 cartes, nous tirons successivement 2 cartes avec remise et on note ces cartes. Quelle est la probabilité d'avoir au moins un as ?

L'évènement "Obtenir au moins un as" est l'évènement contraire de l'évènement "N'obtenir aucun as"

Nombre de cas possibles :
Lors du 1er tirage, il y a 52 possibilités. Pour chacun de ces 1ers tirages, il reste 52 possibilités pour la 2ème carte puisque la 1ère carte a été remise dans le jeu.
52 x 52 = 2704 tirages possibles

Nombre de cas favorables :
Si nous enlèvons les 4 as, il y a : 48 x 48 = 2304 tirages

Probabilité :

P (Obtenir au moins un as) = 1 - P (N'obtenir aucun as) = 1 - 0,85 = 0,15

Additions de 2 évènements non disjoints

Dans un jeu bien mélangé de 32 cartes, nous tirons 1 carte au hasard. Quelle est la probabilité de tirer une dame ou un coeur ?

Ω est l'ensemble des 32 tirages possibles
On note : A l'évènement "Tirer une dame"; ♯A = 4
B l'évènement "Tirer un coeur"; ♯B = 8
A ∩ B l'évènement "Tirer une dame de coeur"; ♯A ∩ B = 1

addition 2 evenements non disjoints

Additions de 2 évènements disjoints

Dans un jeu bien mélangé de 32 cartes, nous tirons 2 cartes successivement avec remise. Quelle est la probabilité de tirer une dame ou un roi ?

Ω est l'ensemble des 32 tirages possibles.
Nous notons :

  • A l'évènement "Tirer une dame"; ♯A = 4
  • B l'évènement "Tirer un roi"; ♯B = 4
  • A ∩ B = ∅ puisque A et B sont disjoints

addition 2 evenements disjoints

Probabilités conditionnelles et indépendances

Calcul de probabilités conditionnelles

Un groupe de personnes est composé de 20 hommes (dont 10 européens) et de 30 femmes (dont 20 européennes). Quelle est la probabilité des femmes parmi les européens ?

exemple-probabilite-conditionnelle

Soit P(femmes ∩ européens) = 20/50 = 2/5
P(européens) = 30/50 = 3/5

P(femmes | européens) = P(femmes ∩ européens) / P(européens)= (2/5) / (3/5) = 2/3

Vérification de l'indépendance de 2 évènements

Nous lancons 2 dés : A = 1er dé amène un nombre pair; B = 2ème dé amène un nombre impair et C = les 2 dés amènent un nombre pair. A, B et C sont-ils des évènements indépendants ?

Soit P(A) = 1/2; P(B) = 1/2 et P(C) = 1/4

P(A ∩ B) = 1⁄4
P(A ∩ C)= 1⁄4
P(B ∩ C) = 0

A et B ? P(A ∩ B) = P(A) x P(B) ⇒ 1/4 = 1/2 x 1/2 ⇒ indépendants
A et C ? P(A ∩ C) = P(A) x P(C) ⇒ 1/4 ≠ 1/2 x 1/4 ⇒ non indépendants
B et C ? P(B ∩ C) = P(B) x P(C) ⇒ 0 ≠ 1/2 x 1/4 ⇒ non indépendants


Ex 1 : Enoncé1
Solution1

Ex 2 : Ennoncé2
Solution2

Ex 3 : Ennoncé3
Solution3

Ex 4 : Ennoncé4
Solution4

Ex 5 : Ennoncé5
Solution5

Ex 6 : Ennoncé6
Solution6

Ex 7 : Ennoncé7
Solution7

Ex 8 : Ennoncé8
Solution8

Ex 9 : Ennoncé9
Solution9

Ex 10 : Ennoncé10
Solution10