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Lois de probabilité

  • Variables aléatoires discrètes
  • Variables aléatoires continues


Contrairement à une variable statistique qui comptabilise le nombre d'unités statistiques pour chacune de ses valeurs, une variable aléatoire comptabilise la probabilité théorique de chacune de ces valeurs.

Au lieu d'établir un tableau de fréquence ou un graphique, pour une variable aléatoire nous allons établir la loi qui régit son comportement, appelée loi de probabilité, sa tendance centrale (espérance mathématique E(X)) et sa dispersion (variance VAR(X) et écart-type σx).

Une variable aléatoire est une variable quantitative qui associe une valeur numérique à chaque résultat possible d'une expérience aléatoire. Le champ d'une variable X, noté CH(X), est l'ensemble des valeurs possibles.

  • Une variable aléatoire est discrète si son champ est un ensemble fini ou dénombrable de nombres entiers
  • Une variable aléatoire est continue si son champ est un ensemble infini ou non dénombrable de nombres réels

Variable aléatoire discrète

Variable aléatoire discrète simple

La loi de probabilité de X est la fonction de probabilité p (ou px) qui associe à chaque élément xi de CH(X), la probabilité élémentaire P(⎨xi⎬) qui correspond aussi à la probabilité que la variable X prenne la valeur xi :

px : CH(X) → [0,1]

xi → p(xi) = P(⎨xi⎬) = P(X = xi)

Les propriétés d'une loi de probabilité sont :

Propriété 1

propriété 2

La distribution de probabilité pxse présente sous forme d'un tableau simple avec toutes les images p(xi) pour toutes les valeurs de CH(X).

Distribution de probabilité de X
xi px(xi)
x1 px(x1)=P(X=x1)
x2 px(x2)=P(X=x2)
...  
xk px(xk)=P(X=xk)


La représentation graphique d'une distribution de probabilité px est un diagramme en bâton :

distribution de probabilité variable discrète

Paramètres d'une variable aléatoire discrète

Espérance mathématique de X

Elle est notée E (X), μ ou μx et représente la moyenne des valeurs prise par X si l'expérience était répétée un nombre infini

esperance mathématique variable aleatoire discrete

Variance de X

Elle est notée Var (X), σ2 ou σ2x et est la moyenne des écarts au carré entre les valeurs prises par X et E (X) si l'expérience était répétée un nombre infini de fois.

variance variable aleatoire discrete

Ecart-type de X

Il est noté σ ou σx et est la racine carrée de la variance de X.

ecart-type variable aleatoire discrete

Inégalité de Chebyshev

En statistique la variance parle de la concentration des données autour de la moyenne, il en est de même ici :

  • Soit X = variable aléatoire discrète d'espérance μ et d'écart-type σ
  • Soit k > 0
inegalite de chebyshev

inegalite de chebyshev k=1

Cela signifie qu'il est impossible que X ne prenne pas de valeurs à moins de +/- 1 σ de l'espérance μ.

inegalite de chebyshev k=2

Cela signifie que plus de 75% des valeurs possibles de X se trouvent dans un intervalle de de +/- 2 σ de l'espérance μ.

inegalite de chebyshev k=3

Cela signifie que plus de 90% des valeurs possibles de X se trouve dans un intervalle de +/- 3 σ de l'espérance μ.

Variables aléatoires discrètes simultanées

La loi de probabilité conjointe de X et Y est la fonction de probabilité px,y qui associe à chaque couple (xi,yj) de CH(X) x CH(Y), la probabilité de l'évènement conjoint X = xi et Y = yj :

px,y : CH(X) x CH(Y) → [0,1]

(xi,yj) → px,y(xi,yj) = P(X = xi et Y = yj)

Les lois ou fonctions de probabilité marginales sont les fonctions px et py dans la colonne et la ligne "Total" puisque :

loi probabilite marginale Px

loi probabilite marginale Py

La distribution de probabilité conjointe de X et Y ainsi que les 2 distributions de probabilité marginales de X et de Y se présentent sous forme d'un tableau à double entrée avec toutes les images px,y(xi,yi) ainsi que px(xi) et py(yi) pour toutes les valeurs de CH(X) x CH(Y).

Distribution de probabilité conjointe de X et Y
CH(Y)
CH(X)
y1 y2 ... ym Total
Px
x1 px,y(x1,y1)
P(X=x1 et Y=y1)
px,y(x1,y2)
P(X=x1 et Y=y2)
... px,y(x1,ym)
P(X=x1 et Y=ym)
px(x1)
x2 px,y(x2,y1)
P(X=x1 et Y=y1)
px,y(x2,y2)
P(X=x1 et Y=y2)
... px,y(x2,ym)
P(X=x1 et Y=ym)
px(x2)
...
...
...
...
...
...
xn px,y(xn,y1)
P(X=xn et Y=y1)
px,y(xn,y2)
P(X=xn et Y=y2)
... px,y(xn,ym)
P(X=xn et Y=ym)
px(xn)
Total
Py
py(y1) py(y2) ... py(ym) 1


La propriété d'indépendance de 2 variables aléatoires conjointes X et Y si :

propriete independance variables conjointes

Modèles aléatoires discrets


Variable aléatoire continue

Si pour une variable aléatoire discrète, nous recherchons la probabilité d'obtenir un résultat spécifique. Par contre, pour une variable aléatoire continue, nous recherchons la probabilité d'obtenir une valeur se situant dans un intervalle déterminé.

La densité de probabilité ou fonction de densité est une fonction réelle f qui répond aux 2 propriétés suivantes :

propriete densite probabilite 1

X est soumise à la fonction de densité f, si tout a, b ∈ R, on a :

fonction de densité 2

La représentation graphique de la fonction de densité f est une courbe sur un graphique cartésien :

densite de probabilte graphique


La fonction de répartition de f est une fonction réelle F définie par:

fonction de répartition

La représentation graphique de la fonction de répartition F est une courbe sur un graphique cartésien :

fonction de repartition graphique


Les propriétés des probabilités des variables aléatoires continues

  • La probabilité que la variable X prenne comme valeur un réel a est nulle : P(X=a) = 0
  • La probabilité que X soit dans l'intervalle [a, b] est inchangée si on exclut une ou deux bornes de l'intervalle :
    P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b)

La fonction de répartition F(X) est une primitive de la fonction f(X)

  • P(a ≤ X ≤ b) = F(b) - F(a)

Paramètres d'une variable aléatoire continue

Espérance mathématique de X

Elle est notée E (X), μ ou μx et représente la valeur moyenne de la variable X, c'est le centre de gravité de la fonction de densité :

esperance mathematique variable continue

Variance de X

Elle est notée Var (X), σ2 ou σ2x et vaut :

variance variable continue

Ecart-type de X

Il est noté σ ou σx et est la racine carrée de la variance de X.

ecart-type variable continue


Modèles aléatoires continus

Fonctions de variables aléatoires

  • Si F = aX + b

E (F) = (aX + b) = aE(X) + b

Var (F) = Var (aX + b) = a2 Var (X)

σ(F) = σ(aX + b) = ⎟a⎟ σX

  • Si G = X ± Y

E (G) = E(X ± Y) = E(X) ± E(Y)

Var (G) = Var (X ± Y) = Var (X) + Var (Y)

  • Si H = X.Y et si X et Y sont indépendantes

E(X.Y) = E(X) . E(Y)