logo

 

 


 

Loi uniforme

  • Discrète
  • Continue
  • Exemples
  • Exercices


Définition

Soit X une variable aléatoire discrète avec CH(X) = ⎨x1, x2, ..., xn⎬.

X suit une loi uniforme discrète, notée X ∼ U(n) si pour tout xi ∈ CH(X), avec :

loi-uniforme-discrete

  • Paramètres :

esperance loi uniforme discrete

variance loi uniforme discrete

  • Représentation graphique

loi-uniforme-discrete

Propriétés

  • Non additivité de 2 lois uniformes

Un phénomène très logique est la non-additivité de deux lois uniformes indépendantes. La densité obtenue est alors triangulaire.

Ainsi, avec 2 lancers de pièce, on obtient les résultats théoriques suivants :

Loi-uniforme-non-additivité


Utilisation

Cette loi très simple est utilisée dans le domaine des loteries. Elle a aussi un intérêt lorsqu’on lui compare une série d’observations. Exemple, dans le test de normalité de Kolmogorov-Smirnov où une distribution réelle est comparée à une distribution uniforme, on y teste l’hypothèse H0 que le phénomène observé est dû au hasard.


Définition

Soit X une variable aléatoire continue.

X suit une loi uniforme continue sur l'intervalle ]a,b[, notée X ∼ U(a;b) si :

  • Fonction de densité et représentation graphique

loi-uniforme-continue-fonction-densite loi-uniforme-fonction-densite

  • Fonction de répartition et représentation graphique

loi-uniforme-continue-fonction-repartition loi-uniforme-fonction-repartition

  • Paramètres

esperance loi uniforme continue

variance loi uniforme continue

Propriétés

  • Probabilité d’un événement avec la loi uniforme

Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [a;b]. Pour tout intervalle [c;d] ⊂ [a;b], nous avons : p(c ≤ x ≤ d) = (d - c)/(b - a)

Utilisation

En statistique, lorsqu'une valeur p (p-value) est utilisée dans une procédure de test statistique pour une hypothèse nulle simple, et que la distribution du test est continue, alors la valeur p est uniformément distribuée selon la loi uniforme standard sur [0;1] si l'hypothèse nulle est vérifiée.


Loi uniforme discrète

Exemple simple de loi discrète uniforme

C'est le lancer d’un dé non biaisé. Les valeurs possibles de k sont 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; et à chaque fois que le dé est lancé, la probabilité d’un score donné est égale à 1/6. La variable X qui associe à chaque face d'un dé la probabilité que le dé tombe sur cette face suit une loi uniforme discrète : X ∼ U(6)

Loi uniforme continue

Soit X la variable aléatoire mesurant la durée exacte du temps d’attente aux urgences d’un hôpital. On suppose que ce temps d’attente est toujours inférieur à 3 heures.
La variable aléatoire X peut prendre n’importe quelle valeur dans l’intervalle [0;3]. On ne peut donc pas énumérer les possibilités sous la forme X = xi. On dit que la loi de probabilité de X est continue.

Le calcul de la probabilité que le temps d’attente soit exactement de 2h31mn est ici complètement inutile. Il serait par contre intéressant de déterminer la probabilité que ce temps d’attente soit :

    1. compris entre 1 et 2 heures : p(x ∈ [1;2])
    2. inférieur à une heure et demi : p(x ≤ 1,5)

1) p(x ∈ [1 ; 2]) = p(1 ≤ x ≤ 2) = (2 - 1)/(3 - 0) = 1/3

2) p(x ≤ 1,5) = p(0 ≤ x ≤ 1,5) = (1,5 - 0)/(3 - 0) = 1/2

 


Ex 1 : Une urne contient 10 boules numérotées de 1 à 10. On tire une boule au hasard, et on note X la variable aléatoire égale au chiffre obtenu. Quelle est la loi de probabibilté de la variable X ?
X suit une loi uniforme discrète sur {1,...,10}, on a : X ∼ U(10)

Ex 2 :

Martin et Valentin se donnent rendez-vous entre 12h et 14h. Proche du lieu fixé, Valentin arrivera à 12h30. Quant à Martin, son arrivée dépend des conditions de circulation routière : il arrivera entre 12h et 13h.

  1. Quelle est la loi de probabilite ́suivie par la variable aléatoire donnant l’heure d’arrivée de Martin ?
  2. Calculer la probabilité que Martin arrive avant Valentin.
  3. Calculer la probabilité que Valentin attende Martin plus de 10 minutes.

1) La variable aléatoire donnant l’heure d’arrivée de Martin suit une loi uniforme continue sur [12;13] : U(12;13)

2) Calculons la probabilité que Martin arrive avant Valentin, dont l’arrivée est programmée à 12h30. Martin arrive avant Valentin si et seulement si Martin arrive avant 12h30, c’est-à-dire entre 12h et 12h30.

La probabilité recherchée est :

p(x ≤ 12,5) = p(12 ≤ x ≤ 12,5) = (12,5 - 12)/(13 - 12) = 0,5

3) Calculons la probabilité que Valentin attende Martin plus de 10 minutes. Valentin attend Martin plus de 10 minutes si et seulement si Martin arrive après 12h40, c’est-à-dire entre 12h40 et 13h.

Comme 12h40 = (12 + 40/60) h, c’est-à-dire 38/3 h, la probabilité recherchée est : p(x ≥ 38/3) = p(38/3 ≤ x ≤ 13) = (13 - 38/3)/(13 - 12) = 1/3


Ex 3 :

Nous choisissons un nombre au hasard entre 0 et 4.

  1. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre entre 0,5 et 0,7 ?
  2. Quelle est la probabilité d’obtenir le nombre π (Pi) ?

1) Calculons la probabilité d’obtenir un nombre entre 0,5 et 0,7.

p(0,5 ≤ x ≤ 0,7) = (0,7 - 0,5)/(4 - 0) = 0,05

Remarque : Par convention, choisir aléatoirement un nombre dans un intervalle [a;b] revient à choisir ce nombre selon la loi uniforme continue U(a;b).

2) Calculons la probabilité d’obtenir le nombre π.

p(x = π) = p(π ≤ x ≤ π) = (π - π)/(4 - 0) = 0

Remarque : La probabilité d’un événement (X = x0 ) est toujours nulle. Il s'agit d'un événement impossible.


Ex 4 : Ennoncé4
Solution4

Ex 5 : Ennoncé5
Solution5

Ex 6 : Ennoncé6
Solution6

Ex 7 : Ennoncé7
Solution7

Ex 8 : Ennoncé8
Solution8

Ex 9 : Ennoncé9
Solution9

Ex 10 : Ennoncé10
Solution10