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Loi t de Student

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Définition

Soit X une variable aléatoire continue.

X suit une loi de Student si sa densité de probabilité vaut :

loi t de student

où :

  • k est une constante entière positive, appelée nombre de degré de liberté et vaut (n - 1)
  • c'est une constante positive dépendant de k

La distribution t est une distribution en cloche symétrique mais plus aplatie que la distribution normale.

Comme la variable Z de la loi normale centrée réduite, la variable réduite t a pour moyenne 0, mais sa variance n'est pas égale à 1, elle est toujours supérieure à 1. Toutefois elle est d'autant plus proche de 1 que son degré de liberté est grand.

Lorsque n = ∞ -> t ∼ N(0;1) ou lorsque n = ∞ -> t = z. L'approximation normale est généralement satisfaisante pour k ≥ 30.

loi t de student

Les points de pourcentage des valeurs supérieures à t selon le degré de liberté sont repris dans la table t de Student.

Utilisation

Le test de Student permet de tester statistiquement l’hypothèse d’égalité de l'espérance de deux variables aléatoires suivant une loi normale et de variance inconnue.

Soit X une variable de moyenne μ et de variance σ2 inconnue.
Soit X barre la variable moyenne d'échantillonnage formée à partir de tous les échantillons de taille n.

Si la variable variable-t-student1 suit une loi N (0 ; 1)

et si ne peut pas être utilisé car σ de la population est inconnu,

alors la variable alors la variable2 ou alors la variable 3 suivra une nouvelle loi dépendante de la taille de l'échantillon, appelée loi de t de Student ou distribution de Student à (n-1) degrés de liberté.


Contenu 2


Ex 1 : Enoncé1
Solution1

Ex 2 : Ennoncé2
Solution2

Ex 3 : Ennoncé3
Solution3

Ex 4 : Ennoncé4
Solution4

Ex 5 : Ennoncé5
Solution5

Ex 6 : Ennoncé6
Solution6

Ex 7 : Ennoncé7
Solution7

Ex 8 : Ennoncé8
Solution8

Ex 9 : Ennoncé9
Solution9

Ex 10 : Ennoncé10
Solution10