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Loi de Poisson

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  • Exemples
  • Exercices


Définition

Soit X une variable aléatoire discrète qui comptabilise le nombre de réalisations d'un évènement dans les conditions suivantes :

  • La réalisation d'un évènement se vérifie par l'examen d'un ensemble représentable sous forme d'un intervalle continu de longeur t, du type ]0,t[
  • L'accomplissement de l'évènement dans un certain sous-intervalle de ]0,t[ n'influence pas la réalisation de l'évènement dans un autre sous-intervalle
  • La probabilité que l'évènement se produise dans un intervalle très petit est presque nulle
  • Le nombre moyen de réalisations de l'évènement dans l'intervalle de ]0,t[ est égal à λ

X suit une loi de Poisson de paramètre λ, notée X ∼ Po(λ;t) ou Po(λ) si pas de confusion sur t avec :

loi poisson formule

  • Représentation graphique

loi poisson

  • Paramètres

loi poisson parametres

Propriétés

Additivité de 2 lois de Poisson

Si X1 et X2 sont 2 variables aléatoires indépendantes suivantutiliséessur le meme intervalle continu et suivant des lois de Poisson:

loi poisson additivite1

alors la variable X1 + X2 suit elle aussi une loi de Poisson avec :

loi poisson additivite2

et

loi poisson additivite3

Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson

Soit X une variable aléatoire avec X ∼ B(n;p)

On pourra donner une valeur approchée des images de cette binomiale B(n;p) par les images correspondantes de la loi de poisson Po(np) si les conditions suivantes sont vérifiées :

    • n ≥ 30 et np < 5
    • ou si p est très petit avec p < 0,1 et np < 10

L'approximation est excellente lorsqu'on a : n ≥ 100 et np < 5

loi poisson approximation binomiale

Approximation de la loi de poisson

Au moyen de la loi normale

Utilisation

Lorsque nous recherchons le nombre de succès sur un intervalle continu.

Elle est utilisée dans les télécommunications (pour compter le nombre de communications dans un intervalle de temps donné), le contrôle de qualité statistique (nombre de défauts en SPC), la description de certains phénomènes liés à la désintégration radioactive (la désintégration des noyaux radioactifs suivant, par ailleurs, une loi exponentielle de paramètre noté aussi lambda), la biologie (mutations), la météorologie, la finance pour modéliser la probabilité de défaut d'un crédit…


Quelle est la probabilité d'observer 3 entorses au cours d'un week-end de garde aux urgences, sachant qu'en moyenne 5 cas d'entorse sont admis par week-end ?

Nous avons :

λ = 5 : nombre moyen d'entorses sur un week-end (intervalle de temps)

et x = 3 : nombre d'entorses dont nous recherchons la probabilité

exemple-loi-poisson

Remarque : Il est impossible de résoudre ce type de problème avec la loi binomiale car nous ne connaissons pas la proportion p d'entorses dans la population des patients des urgences. Nous ne disposons que du numérateur 5 patients avec une entorse qui permettrait de calculer cette proportion. Mais les patients avec la caractéristique inverse "ne pas avoir d'entorse" ne sont en effet pas dénombrables.


Ex 1 : Enoncé1
Solution1

Ex 2 : Ennoncé2
Solution2

Ex 3 : Ennoncé3
Solution3

Ex 4 : Ennoncé4
Solution4

Ex 5 : Ennoncé5
Solution5

Ex 6 : Ennoncé6
Solution6

Ex 7 : Ennoncé7
Solution7

Ex 8 : Ennoncé8
Solution8

Ex 9 : Ennoncé9
Solution9

Ex 10 : Ennoncé10
Solution10