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Loi Khi-deux ou χ2 de Pearson

  • Théorie
  • Exemples
  • Exercices


Définition

Soit X une variable aléatoire continue, ce qui justifie qu'on la remplace par un carré χ2.

X suit une loi χ2 de Pearson si sa densité de probabilité vaut :

loi khi deux ou loi khi deux 2

où :

  • k est une constante entière positive, appelée nombre de degré de liberté et vaut (n)
  • c est une constante positive dépendant de k

La distribution χ2 est toujours caractérisée par une dissymétrie gauche. Il s'agit d'une distribution en i lorsque k = 1 et 2. De plus la courbe de densité de probabilité est tangente à l'origine à l'axe des ordonnées lorsque k = 3 et à l'axe des abscisses lorsque k > 4.

  • Représentation graphique
loi khi deux
  • Paramètres

loi khi deux parametres

Propriétés

  • Conformément au théorème central limite, lorsque k est « grand » (k > 100), la loi d'une variable de χ2, somme de variables aléatoires indépendantes, peut être approchée par une loi normale d'espérance k et de variance 2k. Cette approximation se fait plus lentement.

 

  • Soient X1, X2, ..., Xk : k variables aléatoires indépendantes de même loi normale centrée et réduite, alors par définition la variable , telle que :

suit une loi du χ2 à k degrés de liberté.

Les points de pourcentages des valeurs supérieures à χ2 selon le degré de liberté sont repris dans la table Khi-carré.

Utilisation

Elle est utilisée, en particulier, lors de tests d'adéquation (comparaison entre des fréquences observées et fréquences théoriques) mais aussi lors de la comparaison de variances observées et de variances théoriques.


Contenu 2


Ex 1 : Enoncé1
Solution1

Ex 2 : Ennoncé2
Solution2

Ex 3 : Ennoncé3
Solution3

Ex 4 : Ennoncé4
Solution4

Ex 5 : Ennoncé5
Solution5

Ex 6 : Ennoncé6
Solution6

Ex 7 : Ennoncé7
Solution7

Ex 8 : Ennoncé8
Solution8

Ex 9 : Ennoncé9
Solution9

Ex 10 : Ennoncé10
Solution10