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Loi hypergéométrique

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  • Exemples
  • Exercices


Définition

Soit une expérience aléatoire dont le processus est constitué d'un tirage sans remise de n objets parmi N, c-à-d n épreuves de Bernoulli non indépendantes, avec :

    • p = P(succès lors de la 1ère vérification)
    • q = P(échec lors de la 1ère vérification) = 1 - p

Soit X, une variable aléatoire discrète qui comptabilise le nombre de succès ou d'objets gagnants lorsqu'on tire simultanément n objets dans une urne contenant pN objets gagnants et qN objets perdants (avec q = 1 - p, soit un nombre total d'objets valant pN + qN = N).

X suit une loi hypergéométrique de paramètres n, N et p, notée X ∼ H(n;N;p) avec :

loi hypergeometrique formule

  • Représentation graphique

loi hypergeometrique

  • Paramètres

loi hypergeometrique parametres

Propriétés

  • Approximation d'une loi hypergéométrique par une loi binomiale

Soit X une variable aléatoire avec X ∼ H(n;N;p)

Nous pourrons donner une valeur approchée des images de cette hypergéométrique H(n;N;p) par les images correspondantes de la loi binomiale B(n;p) si les conditions suivantes sont vérifiées :

L'approximation sera satisfaisante si N est très grand :

loi hypergeometrique approximation

Utilisation

Lorsqu'on recherche le nombre de succès lors de n tirages sans remise parmi N.


L’oral d’un concours comporte au total 100 sujets; les candidats tirent au sort trois sujets et choisissent alors le sujet traité parmi ces trois sujets. Un candidat se présente en ayant révisé 60 sujets sur les 100.

1. Quelle est la probabilité pour que le candidat ait révisé :

(a) les trois sujets tirés

loi-hypergeometrique-ex1a

(b) exactement deux sujets sur les trois sujets

loi-hypergeometrique-ex1b

(c) aucun des trois sujets

loi-hypergeometrique-ex1c

2. Définir une variable aléatoire associée à ce problème et donner sa loi de probabilité, son espérance.

La variable aléatoire associée à ce problème est X «nombre de sujets révisés parmi les 3» ; son support est l’ensemble {0, 1, 2, 3}. La loi de X est une loi hypergéométrique ∼ H(3;100;0,6) puisque l’événement [X = k], pour k compris entre 0 et 3, se produit si le candidat tire k sujet(s) parmi les 60 révisés, et 3−k sujets parmi les 40 non révisés.

loi-hypergeometrique-ex1d

Résultats numériques :

k=0 : P[X = 0] ≃ 6,110 10−2
k=1 : P[X = 1] ≃ 0,289
k=2 : P[X = 2] ≃ 0,438
k=3 : P[X = 3] ≃ 0,212

L’espérance est E(X) = np = 3 x 0,6 = 1,8


Ex 1 : Ennoncé1

 

Solution

 


Ex 2 : Ennoncé2
Solution2

Ex 3 : Ennoncé3
Solution3

Ex 4 : Ennoncé4
Solution4

Ex 5 : Ennoncé5
Solution5

Ex 6 : Ennoncé6
Solution6

Ex 7 : Ennoncé7
Solution7

Ex 8 : Ennoncé8
Solution8

Ex 9 : Ennoncé9
Solution9

Ex 10 : Ennoncé10
Solution10