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Loi géométrique

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Définition

Soit une expérience aléatoire dont le processus est constitué de n répétitions dans les mêmes conditions d'une même épreuve de Bernoulli, avec :

    • p = P(succès)
    • q = P(échec) = 1 - p

Soit X, une variable aléatoire discrète qui comptabilise le nombre de fois qu'il faut effectuer l'épreuve de manière indépendante pour obtenir le premier succès.

X suit une loi géométrique de paramètre p, notée X ∼ Géo(p) avec :

loi geometrique formule

  • Représentation graphique

loi geometrique

  • Paramètres

loi geometrique parametre

Propriétés

  • Géo (1) n'est pas une expérience aléatoire car nous gagnons tout le temps
  • Soit X une variable aléatoire avec X ∼ Géo(p) alors :

    loi geometrique propriete1

    Demonstration

  • X est une variable sans mémoire car sachant qu'il y n'y a pas eu de succès pendant t premières épreuves de Bernoulli, la probabilité qu'il n'y ait pas de succès durant less prochaines est la même que si les t premières épreuves n'avaient pas eu lieu :

    loi geometrique propriete2a

    loi geometrique propriete2b

Utilisation

Lorsque nous recherchons le nombre d'expériences aléatoires ou épreuves de Bernoulli, identiques et indépendantes, nécessaires pour obtenir un premier succès.


Un vendeur d'assurances par téléphone a une probabilité de réussite de 22 %.

  1. Quelle est la probabilité que son premier acheteur soit la 4ème personne qu'il contacte ?
  2. Quelle est la probabilité que le vendeur doive faire au moins 4 appels avant de vendre sa 1ère assurance ?
  3. Sachant que le vendeur n'a pas eu de succès lors de ces 2 premiers appels, quelle est la probabilité qu'il ne vende aucune assurance sur les 5 premiers appels ?
  4. Compte tenu de tous les vendeurs, combien doivent-il faire d'appels en moyenne pour obtenir le 1er acheteur ?

Nous avons X une variable aléatoire discrète : Nombre d'appels téléphoniques pour obtenir un premier acheteur, il s'agit d'une loi géométrique X ∼ Géo(0,22)

  1. P(X=4) = p(4) = pq(4-1) = (0,22) (1 - 0,22)3 = 0,1044 = 10,44 %
  2. P(X≥4) = p(X>3) = q3 = (1 - 0,22)3 = 0,4746 = 47,46 %
  3. P((X>5)⎟(X>2)) = P((X>3 + 2)⎟(X>2)) = p(X>3) = q3 = (1 - 0,22)3 = 0,4746 = 47,46 % car variable sans mémoire
  4. E(X) = 1/p = 1/0,22 = 4,54 appels en moyenne

Ex 1 : Enoncé1
Solution1

Ex 2 : Ennoncé2
Solution2

Ex 3 : Ennoncé3
Solution3

Ex 4 : Ennoncé4
Solution4

Ex 5 : Ennoncé5
Solution5

Ex 6 : Ennoncé6
Solution6

Ex 7 : Ennoncé7
Solution7

Ex 8 : Ennoncé8
Solution8

Ex 9 : Ennoncé9
Solution9

Ex 10 : Ennoncé10
Solution10