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Loi exponentielle

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  • Exemples
  • Exercices


Définition

Soit un évènement pour lequel :

  • Sa réalisation se vérifie par l'examen d'un ensemble représentable sous forme d'un intervalle continu de longeur t, du type ]0,t[
  • Sa réalisation dans un certain sous-intervalle de ]0,t[ n'influence pas sa réalisation dans un autre sous-intervalle
  • La probabilité qu'il se produise dans un intervalle très petit est presque nulle
  • Le nombre moyen de réalisations de l'évènement dans l'intervalle de ]0,t[, un intervalle de longueur 1, est connu et est égal à λ

Soit X une variable aléatoire continue correspondant à la longueur d'intervalle avant que l'évènemement ne se réalise une première fois, c-à-d la longueur de ]0,t[

Alors X suit une loi exponentielle de paramètre λ, notée X ∼ Expo(λ) avec comme fonction de densité :

loi-exponentielle-formule

  • Représentation graphique

Loi-exponentielle

  • Paramètres

loi exponentielle parametres

Propriétés

  • Soit X une variable aléatoire avec X ∼ Expo(λ) alors :
  • loi exponentielle propriete1

  • X est une variable sans mémoire car sachant qu'il y n'y a pas eu de succès pendant t premières épreuves de Bernoulli, la probabilité qu'il n'y ait pas de succès durant les s prochaines est la même que si les t premières épreuves n'avaient pas eu lieu :

    loi exponentielle propriete2

    loi exponentielle propriete3

Utilisation

Lorsqu'on recherche la longueur d'un intervalle pour observer un premier succès.

Un domaine privilégié de la loi exponentielle est le domaine de la radioactivité. Chaque atome radioactif possède une durée de vie qui suit une loi exponentielle. Le paramètre λ s'appelle alors la constante de désintégration. On modélise aussi fréquemment la durée de vie d'un composant électronique par une loi exponentielle.


Le temps moyen d'attente aux portiques du métro "Alma" est de 12,1 minutes en période de pointe. En supposant que le temps de passage d'un portique suit une loi exponentielle :

  1. Quelle est la probabilité qu'il faille 10 minutes pour passer les portiques durant une période de pointe ?
  2. Quelle est la probabilité qu'il faille plus de 20 minutes pour passer les portiques durant une période de pointe ?
  3. Quelle est la probabilité qu'il faille entre 10 et 20 minutes pour passer les portiques durant une période de pointe ?
  4. Il est 8 heures (une période de pointe) et vous venez d'entre dans la file d'attente et vous avez rendez-vous à 8h30. S'il faut 12 minutes de trajet de métro jusqu'au lieu de rendez-vous, quelle est la probabilité que vous le ratiez ?

 

  1. P(X≤10) = 1 - e-(10/12,1) = 0,5624 = 56,24 %
  2. P(X>20) = 1 - P(X≤20) = 1 - (1 - e-(20/12,1)) = 0,1915 = 19,15 %
  3. P(10≤X≤20) = P(X≤20) - P(X≤10) = 0,8085 - 0,5624 = 0,2461 = 24,61 %
  4. 30 - 12 = 18 minutes : P(X>18) = = 1 - P(X≤18) = 1 - (1 - e-(18/12,1)) = 0,2259 = 22,59 %

Ex 1 : Enoncé1
Solution1

Ex 2 : Ennoncé2
Solution2

Ex 3 : Ennoncé3
Solution3

Ex 4 : Ennoncé4
Solution4

Ex 5 : Ennoncé5
Solution5

Ex 6 : Ennoncé6
Solution6

Ex 7 : Ennoncé7
Solution7

Ex 8 : Ennoncé8
Solution8

Ex 9 : Ennoncé9
Solution9

Ex 10 : Ennoncé10
Solution10