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Loi binomiale

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Définition

Epreuve de bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire dont le processus mène à la réalisation ou la non réalisation d'un évènement fixé préalablement avec :

    • si c'est un succès, la probabilité P(succès) = p
    • si c'est un échec, la probabilité complémentaire P(échec) = 1 - p = q

Soit I, une variable aléatoire discrète, dite indicatrice, et binaire ayant 2 valeurs (I = 1 si succès et I = 0 si échec).

I suit une loi binomiale 1 et p, notée I ∼ B(1;p), avec :

    loi bernoulli formules

  • Paramètres
  • loi bernoulli parametres

Loi binomiale

Une expérience aléatoire dont le processus est constitué de n répétitions dans les mêmes conditions d'une même épreuve de Bernoulli, avec :

    • p = P(succès)
    • q = P(échec) = 1 - p

Soit X, une variable aléatoire discrète qui comptabilise le nombre de succès k obtenus à la suite des n épreuves.

X suit une loi binomiale n et p, notée X ∼ B(n;p) avec :

loi binomiale formule

  • Représentation graphique

Loi-binomiale-n-augmente Loi-binomiale-p-augmente

Lorsque n augmente et lorsque p est proche 0,5, la distribution binomiale devient plus symétrique. Lorsque np ≥ 5 et n(1-p) ≥ 5, la loi binomiale peut être remplacée par une loi normale.

  • Paramètres

loi binomiale parametres

Propriétés

  • Conditions d'application de la loi binomiale

Il faut que :

    • La variable étudiée I soit de type binaire
    • Les n épreuves soient indépendantes les unes des autres : situation de jeu hasard ou échantillon tiré au sort
    • Les n épreuves soient identiques les unes des autres c-à-d que chaque évènement a la même probabilité de succès ou tous les individus de la population étudiée ont la même chance d'être tirés au sort
    • La taille n de l'échantillon soit négligeable par rapport à la taille N de la population (n/N < 10%). Sinon il faut utiliser la loi hypergéométrique.
  • Additivité de 2 lois binomiales

Si X1 et X2 sont 2 variables aléatoires indépendantes suivant des lois binomiales rattachées à des épreuves identiques de paramètre p :

loi binomiale additivite 1

alors la variable X1 + X2 suit aussi une loi binomiale :

loi binomiale additivite 2

ayant comme paramètres :

loi binomiale additivite 3

loi binomiale additivite 4

Cette propriété d'additivité permet de calculer la probabilité d'observer les valeurs suivantes :

    • P(X < k) = P(0) + P(1) +...+ P(k-1) = 1 - P(X ≥ k)
    • P(X ≤ k) = P(0) + P(1) +...+ P(k-1) + P(k) = 1 - P(X > k)
    • P(X > k) = P(k+1) + ... + P(n) = 1 - P(X ≤ k)
    • P(X ≥ k) = P(k) + P(k+1) + ... + P(n) = 1 - P(X < k)
  • Approximation de la loi binomiale

Il est possible d'avoir une approximation de la loi binomiale au moyen de :

Utilisation

Lorsqu'on recherche :

    1. La probabilité de k succès au bout de n tentatives connaissant la probabilité p de gagner à chaque tentative. C'est le jeu de hasard.
    2. La probabilité d'observer k individus porteurs d'un caractère donné dans un échantillon de n individus tirés d'une population où la proportion d'individus porteurs du caractère est p. C'est l'étude d'un échantillon.
    3. A savoir si un échantillon donné provient ou non d'une population dont on connait la proportion P du caractère étudié.
      • Est-ce que la probabilité observée est suffisamment élevée pour admettre que l'échantillon provienne de cette population ?
      • ou la probabilité observée est-elle vraiment trop faible et dans ce cas on rejette l'idée que l'échantillon est représentatif de la population ?
      • Le seuil de probabilité au-dessous duquel on rejette une hypothèse est arbitraire mais souvent fixé à 5%
  • Utilisation des tables de la loi binomiale

Pour éviter les calculs, utilisez les tables de distributions binomiales qui existent pour un certain nombre de valeurs des paramètres n et p.

Voici comment trouver P(X=2) pour la loi binomiale B(2;0,2) :

  • n = 2 (carré bleu)
  • P = 0,2 (carré vert)
  • X = 2 (carré rouge)
  • Réponse de P(X=2) = 0,0400 (ovale rouge)

table-binomiale-explication


Propriété additive

Quelle est la probabilité d'observer moins de 3 malades dans un échantillon de 10 sujets pris au hasard dans une population pour laquelle la fréquence de cette maladie est de 10 % ? En utilisant la table de la loi binomiale.

P(X<3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,349 + 0,387 + 0,194 = 0,93 = 93 %

Quelle est la probabilité d'observer plus de 2 malades dans un échantillon de 10 sujets pris au hasard dans une population pour laquelle la fréquence de cette maladie est de 10 % ? En utilisant les propriétés de l'inégalité et de la probabilité complémentaire.

P(X>2) = P(X≥3) = 1 - P(X<3) = 1 - 0,93 = 0,07 = 7 %

Cas du jeu de hasard

Quelle est la probabilité de tirer 3 "six" en lançant un dé 10 fois ? En utilisant la formule de la loi binomiale.

k = nombre de six désiré = 3
n = nombre d'essais = 10
p = probabilité théorique d'avoir un six avec un dé = 1/6

exemple-loi-binomiale-1

La probabilité d'obtenir 3 six est de 16 %

Cas de l'étude d'un échantillon

Quelle est la probabilité d'observer 5 malades dans un échantillon de 15 sujets pris au hasard dans une population pour laquelle la fréquence de cette maladie est de 15 % ? En utilisant la formule de la loi binomiale.

k = nombre de malades = 5
n = taille de l'échantillon = 15
p = fréquence de la maladie dans la population = 0,15

exemple-loi-binomiale-2

La probabilité d'observer 5 malades est de 4,5 %

Cas de l'appartenance d'un échantillon à une population donnée

Si dans un échantillon de 10 sujets nous avions trouvé 3 sujets avec un certain caractère, peut-on conclure que cet échantillon provient d'une population où la fréquence de ce caractère est de 10 % ? En utilisant la formule de la loi binomiale.

On observe que la proportion de l'échantillon est de 3/10 = 0,3 = 30 % est plus élevée que celle 10 % de la population.

La question est de se demander quelle est la probabilité d'observer autant de sujets c-à-d de calculer la probabilité d'avoir au moins 3 sujets.

P(X ≥ 3) = 1 - P(x < 3) = 1 - P(X=0) - P(X=1) - P(X=2) = 1 - 0,3487 - 0,3874 - 0,1937 - 0,0574 = 0,0702 = 7,02 %

Il y a donc 7,02 % de chances d'observer ce résultat. On conclut que l'échantillon provient de cette population car > 5 %.


Ex 1 :

Dans une entreprise, il y a dix imprimantes identiques fonctionnant de façon indépendante tous les jours. Chaque jour, la probabilité qu’une imprimante tombe en panne est égale à 0,002. Le risque de panne un jour donné́ est indépendant des pannes survenues les jours précédents. Calculer la probabilité que :

  1. Une imprimante tombe en panne au moins une fois pendant un mois (30 jours)

  2. Aucune des dix imprimantes ne tombe en panne au moins une fois pendant le mois

  3. Moins de 3 imprimantes tombent en panne au moins une fois pendant le mois

  4. Au moins 4 imprimantes tombent en panne au moins une fois pendant le mois

1.

On note X la variable aléatoire correspondant au nombre de jours de panne d’une imprimante pendant les 30 jours, soit X = {0; 1; 2; ...; 29; 30}.

On considère l’épreuve de Bernouilli qui consiste à prendre un jour au hasard parmi les 30 jours du mois avec comme succès = imprimante en panne et comme échec = imprimante pas en panne. On a :

    • P(Succès) = p = 0,002
    • P(Echec) = q = 1 − 0,002 = 0, 998

Le risque de panne un jour donné est indépendant des pannes survenues les jours précédents, chaque épreuve de Bernouilli est indépendante des autres. La loi de probabilité de X suit donc la loi binomiale de paramètres 30 et 0,002 notée B(30;0,002).

p(X ≥ 1) = 1 − p(X=0) = 1 − 0,942 = 0,058

loi-binomiale-ex1a

La probabilité qu'une l’imprimante tombe en panne au moins une fois en 30 jours est d’environ 5,8 %.

2.

On note Y la variable aléatoire correspondant au nombre d’imprimantes tombant au moins une fois en panne pendant les 30 jours, soit Y = {0; 1; 2; ...; 9; 10}

On considère l’épreuve de Bernouilli qui consiste à prendre une imprimante au hasard parmi les dix imprimantes avec comme succès = imprimante en panne au moins une fois en 30 jours et comme échec = imprimante pas en panne en 30 jours. On a :

    • P(Succès) = p = 0,058 d’après la question 1
    • P(Echec) = q = 1 − 0,058 = 0,942

Les dix imprimantes sont identiques et fonctionnent de façon indépendante tous les jours, chaque épreuve de Bernouilli est indépendante des autres. La loi de probabilité de Y suit donc la loi binomiale de paramètres 10 et 0,058 notée B(10;0,058).

loi-binomiale-ex1b

La probabilité qu’aucune des 10 imprimantes ne tombe en panne au moins une fois pendant le mois est d’environ 5,5 %.

3.

P(Y ≤ 3) = P(Y = 0) + P(Y = 1) + P(Y = 2) + P(Y = 3)

loi-binomiale-ex1b

loi-binomiale-ex1c

loi-binomiale-ex1d

loi-binomiale-ex1e

P(Y ≤ 3) = 0,55 + 0,339 + 0,094 + 0,015 = 0,998

La probabilité que moins de 3 imprimantes tombent en panne au moins une fois pendant le mois est d’environ 99,8 %.

4.

P(Y ≥ 4) = 1 − P(Y < 4) = 1 − P(Y ≤ 3) = 0,002

La probabilité qu’au moins 4 imprimantes tombent en panne au moins une fois pendant le mois est environ de 0,2 %.


Ex 2 :

Des tests sont effectués sur une surface rugueuse afin de mesurer l'endurance de nouveaux pneus. Sur ce type de surface, il s'avère que des crevaisons se produisent pour 25% des pneus. Lors du prochain essai, 15 nouveaux pneus vont être testés.

  1. Quelle est la probabilité qu'il y ait moins de 4 crevaisons ?
  2. Trouver μ et σ, déterminer la probabilité annoncée par l'inégalité de Chebyshev au sujet de l'intervalle [μ - 2σ , μ + 2σ] et interpréter cette probabilité dans le contexte
  3. Si X représente le nombre de pneus crevés, déterminer P(μ - 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ) à l'aide du modèle suivi par X

Nous avons la loi binomiale X ∼ B(15;0,25)

1.

P(X<4) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0,0134 + 0,0668 + 0,1559 + 0,2252 = 0,4613 ou 46,13 %

2.

μ = E(X) = np = 15 . 0,25 = 3,75

exemple-loi-binomiale-5

P(μ - 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ) = P(3,75 - 2 (1,68) ≤ X ≤ 3,75 + 2 (1,68)) = P(0,39 ≤ X ≤ 7,11) = P(0 ≤ X ≤ 7)

En utilisant l'inégalité de Chebyshev pour k = 2

P(μ - 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ) > 1 - 1/k2 = 1 - 1/22 = 0,75

On peut affirmer que la probabilité de retrouver au plus 7 pneus crevés dépasse 75 %.

3.

P(μ - 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ) = P(0 ≤ X ≤ 7) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) = 0,0134 + 0,0668 + 0,1559 + 0,2252 + 0,2252 + 0,1651 + 0,0917 + 0,0393 = 0,9826 = 98,26 % ce qui est bien supérieur au 75 % prévu par l'inégalité de Chebyshev


Ex 3 : Ennoncé3
Solution3

Ex 4 : Ennoncé4
Solution4

Ex 5 : Ennoncé5
Solution5

Ex 6 : Ennoncé6
Solution6

Ex 7 : Ennoncé7
Solution7

Ex 8 : Ennoncé8
Solution8

Ex 9 : Ennoncé9
Solution9

Ex 10 : Ennoncé10
Solution10