logo

 

 


 

Analyse combinatoire

  • Théorie
  • Exemples
  • Exercices


Probabilités et dénombrement

Le calcul de la probabilité d'un évènement A, P(A) au sens classique; c-à-d appartenant à un univers fondamental constitué de N événements élémentaires, mutuellement exclusifs, exhaustifs et équiprobables; nécessite la recherche du nombre de cas favorables et de cas possibles.

Nous devons donc faire appel à l'analyse combinatoire décrite ci-dessous :

Pour tous n et p ∈ N0 , nous avons les types de combinaison suivants :

Principe de multiplication

Soit A = ⎨(a1, a2, ..., an)⎟ a1 ∈ A1, a2 ∈ A2, ..., an ∈ An

Le nombre d'éléments appartenant à A est donné par :

denombrement principe multiplication

Les répétitions dans les n-uplets sont possibles si au moins 2 ensembles Ai sont identiques

Arrangement avec répétitions de n objets pris p à p

Il s'agit d'une liste de p objets, distincts ou non, choisis parmi les n objets donnés, 2 listes pouvant différer soit par la nature, soit par l'ordre des éléments.

arrangement avec repetitions

Arrangement sans répétition de n objets pris p à p

Il s'agit d'une liste de p objets distincts choisis parmi les n objets donnés, 2 listes pouvant différer soit par la nature, soit par l'ordre des éléments.

arrangement sans répétition

Permutation sans répétition de p objets

Il s'agit d'une liste de ces p objets distincts, 2 listes ne différant uniquement par l'ordre des éléments.

permutation sans répétition

Combinaison sans répétition de n objets pris p à p

Il s'agit d'une liste de p objets distincts choisis parmi les n objets donnés, 2 listes ne différant uniquement par la nature de leurs éléments et non par leur place.

combinaison sans répétition

Rappel de la factorielle de n :

n! = 1.2.3...(n-2).(n-1).n

0! = 1


Arrangement avec répétitions ou remise

De combien de manières peut-on élire, parmi 5 personnes, un président, un secrétaire et un trésorier, sachant que les charges sont cumulables ?

Interprétation en terme de tirage dans une urne : L'ensemble des 5 personnes devient une urne contenant 5 boules numérotées de 1 à 5. Nous effectuons 3 tirages successifs en notant chaque chiffre dans l'ordre du tirage et en remettant la boule tirée dans l'urne après chaque tirage.

arragement avec repetitions

Arrangement sans répétition ou remise

De combien de manières peut-on élire, parmi 5 personnes, un président, un secrétaire et un trésorier, sachant que les charges ne sont pas cumulables ?

Interprétation en terme de tirage dans une urne
: L'ensemble des 5 personnes devient une urne contenant 5 boules numérotées de 1 à 5. Nous effectuons 3 tirages successifs en notant chaque chiffre dans l'ordre du tirage et en ne remettant pas la boule tirée dans l'urne.

arrangement sans repetition

Permutation

De combien de manières peut-on élire, parmi 5 personnes, les 5 personnes à 5 charges différentes, sachant que les charges ne sont pas cumulables ?

Interprétation en terme de tirage dans une urne : L'ensemble des 5 personnes devient une urne contenant 5 boules numérotées de 1 à 5. Nous effectuons 5 tirages successifs en notant chaque chiffre dans l'ordre du tirage et en ne remettant pas la boule tirée dans l'urne.

permutations

Combinaison sans répétition ou remise

De combien de manières peut-on élire, parmi 5 personnes, 3 personnes pour former une délégation ?

Interprétation en terme de tirage dans une urne : L'ensemble des 5 personnes devient une urne contenant 5 boules numérotées de 1 à 5. Nous effectuons 3 tirages successifs en ne prenant pas en compte l'ordre du tirage et en ne remettant pas la boule tirée dans l'urne.

combinaisons


Ex 1 : Enoncé1
Solution1

Ex 2 : Ennoncé2
Solution2

Ex 3 : Ennoncé3
Solution3

Ex 4 : Ennoncé4
Solution4

Ex 5 : Ennoncé5
Solution5

Ex 6 : Ennoncé6
Solution6

Ex 7 : Ennoncé7
Solution7

Ex 8 : Ennoncé8
Solution8

Ex 9 : Ennoncé9
Solution9

Ex 10 : Ennoncé10
Solution10