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Estimation d'un paramètre d'une population par intervalle de confiance

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  • Exemples
  • Exercices

Intervalle de confiance (IC)

  • Soit une population de taille N pour laquelle nous voulons estimer la moyenne μ de la variable X (ou μx)
  • Soit x-barre, la moyenne de l'échantillon aléatoire de taille n tiré de cette population
  • Soit une population de taille N pour laquelle nous voulons estimer la proportion π d'unités statistiques qui répondent à une certain critère.
    Soit P-barre, la proportion d'unités statistiques répondant à ce critère de l'échantillon aléatoire de taille n


L'intervalle de confiance déterminé au niveau de confiance (1 - α) est égal à :

Pour la moyenne μ : intervalle-confiance-moyenne

Pour la proportion π : intervalle-confiance-proportion

où :

ME = Marge d'erreur = 1/2 Intervalle de confiance (IC)

α = risque de première espèce (la probabilité que μ ne soit pas dans l'intervalle de confiance)

α/2 = car α est réparti des 2 côtés = test bilatéral

intervalle-confiance

Calcul de la marge d'erreur (ME ou 1/2 IC)

Pour la moyenne μ si la variance de la population σ2 est connue

Si X ∼ N(μ;σ2) ou si X ∼ loi quelconque et n ≥ 30

ME-variance-connue-loi-normale

Valeur de Zα/2 que l'on retrouve dans la table normale réduite N(0,1)

  • Si α = 10% ou niveau de confiance 90% : Zα/2 = 1,645
  • Si α = 5% ou niveau de confiance 95% : Zα/2 = 1,960
  • Si α = 1% ou niveau de confiance 99% : Zα/2 = 2,576

si X ∼ loi quelconque et n < 30

ME-variance-connue-loi-quelconque

Valeur de k que l'on calcule avec la formule d'inégalité de Chebyshev

  • Si α = 10% ou niveau de confiance 90% : k = 3,162
  • Si α = 5% ou niveau de confiance 95% : k = 4,472
  • Si α = 1% ou niveau de confiance 99% : k = 10

Pour la moyenne μ si la variance de la population σ2 est inconnue

On utilise S2 la variance corrigée de l'échantillon.

Si n ≥ 30

ME-variance-inconnue-loi-normale

Si n < 30 et X ∼ N(μ;σ2)

ME-variance-inconnue-approximation-loi-normale

On cherche la valeur t dans la table t de Student en fonction du degré de liberté n-1.

  • Si α = 10% ou niveau de confiance 90% : tα/2, dl=n-1 = t0,05, dl=n-1
  • Si α = 5% ou niveau de confiance 95% : tα/2, dl=n-1 = t0,025, dl=n-1
  • Si α = 1% ou niveau de confiance 99% : tα/2, dl=n-1 = t0,005, dl=n-1

Si n < 30 et X ∼ loi quelconque

ME-variance-inconnue-loi-quelconque

Pour la proportion π

ME-proportion

Pour ME ou 1/2 IC fixé calcul de la taille d'échantillon

Pour la moyenne μ si la variance de la population σ2 est connue

ME-taille-echantillon-variance-connue

Pour la moyenne μ si la variance de la population σ2 est inconnue

ME-taille-echantillon-variance-inconnue

Pour la proportion π

ME-taille-echantillon-proportion

Zα est en général égale 1,960, si on désire un niveau de risque α < 0,05, la valeur Z augmentera et la taille de l'échantillon également.

MEmax fixée est la précision désirée, c-à-d +/- 1/2 intervalle de confiance (IC). Lorsqu'on désire une précision plus élevée c-à-d un intervalle de confiance plus petit, la taille de l'échantillon n augmentera.


Contenu 2


Ex 1 : Enoncé1
Solution1

Ex 2 : Ennoncé2
Solution2

Ex 3 : Ennoncé3
Solution3

Ex 4 : Ennoncé4
Solution4

Ex 5 : Ennoncé5
Solution5

Ex 6 : Ennoncé6
Solution6

Ex 7 : Ennoncé7
Solution7

Ex 8 : Ennoncé8
Solution8

Ex 9 : Ennoncé9
Solution9

Ex 10 : Ennoncé10
Solution10