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Estimation de la proportion d'une population

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  • Exemples
  • Exercices

Soit une population donnée de taille N.

Soit M, le nombre d'échantillons possibles de taille n choisis avec la même méthode aléatoire.

Soit p (ou π) la proportion d'unités statistiques de la population répondant affirmativement à la présence du critère donné.

Pour l'échantillon j,

Soit I1, I2, ..., Ik, ..., In, les variables indicatrices de succès avec :

Variable-indicatrice-de succes

Soit i1, i2, ..., ik, ..., in, la série statistique des valeurs des variables indicatrices de succès Ik

Soit la proportion de succès obtenus :

proportion-de-succes

P-barre est la variable d'échantillonnage qui prend comme valeurs les variances obtenues par chacun des M échantillons de taille n, ces valeurs étant désignées par :echantillonnage-proportions

Soit :

  • Y La variable nombre d'unités statistiques répondant affirmativement à la présence du critère donné dans un échantillon
  • P-barre la variable proportion d'unités statistiques répondant affirmativement à la présence du critère donné dans un échantillon avec :echantillonnage-proportions2

Echantillons avec remise

echantillonnage-proportion-esperance

echantillonnage-proportion-variance

Dans ce cas la distribution d'échantillonnage de la proportion suit une loi binomiale :

echantillonnage-proportion-loi-binomiale

echantillonnage-proportion-loi-binomiale2

Si n ≥ 30, np ≥ 5 et nq ≥ 5 (approximation d'une loi binomiale par une loi normale)

Alors la distribution d'échantillonnage de la proportion suit une loi normale :

echantillonnage-proportion-loi-normale

Ou une loi normale réduite :

echantillonnage-proportion-loi-normale-reduite

Si n ≥ 30, np < 5 ou si p est très petit avec p ≤ 0,1 et np < 10 (approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson)

echantillonnage-proportion-loi-poisson

Echantillons sans remise

Dans ce cas la distribution d'échantillonnage de la proportion suit une loi hypergéométrique :

echantillonnage-proportion-sans-remise

echantillonnage-proportion-sans-remise-esperance

echantillonnage-proportion-sans-remise-variance

Dans ce cas la distribution d'échantillonnage de la proportion suit une loi hypergéométrique :

echantillonnage-proportion-loi-hypergeometrique

echantillonnage-proportion-loi-hypergeometrique2

Si N est très grand : N ≥ 20n ou n/N ≤ 0,05 (approximation d'une loi hypergéométrique par une loi normale)

Alors la distribution d'échantillonnage de la proportion suit une loi normale :

echantillonnage-proportion-loi-normale

ou une loi normale réduite :

echantillonnage-proportion-loi-normale-reduite


Contenu 2


Ex 1 : Enoncé1
Solution1

Ex 2 : Ennoncé2
Solution2

Ex 3 : Ennoncé3
Solution3

Ex 4 : Ennoncé4
Solution4

Ex 5 : Ennoncé5
Solution5

Ex 6 : Ennoncé6
Solution6

Ex 7 : Ennoncé7
Solution7

Ex 8 : Ennoncé8
Solution8

Ex 9 : Ennoncé9
Solution9

Ex 10 : Ennoncé10
Solution10