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Estimation ponctuelle d'un paramètre d'une population

  • Théorie


Nous avons vu que l'objectif principal de calculer les statistiques d'un échantillon est de pouvoir inférer c-à-d faire une estimation des paramètres inconnus de la population dont il a été tiré de manière aléatoire.

Pour cela, il faut 2 choses :

    1. utiliser de bons estimateurs ponctuels de ces paramètres
    2. définir un intervalle de confiance autour des estimateurs calculés à partir de l'échantillon au sein duquel il y a une forte probabilité de trouver les valeurs exactes des paramètres recherchés

Un estimateur ponctuel d'un paramètre θ de la population est la valeur numérique de Theta-accent-circonflexe, une statistique équivalente à ce paramètre calculée à partir d'un échantillon prélevé aléatoirement dans cette population.

    • x-barre est un estimateur ponctuel de μ (ou μx)
    • S-carre est un estimateur ponctuel de σ2 (ou σx2)
    • Pi est un estimateur ponctuel de π (ou px)

Qualités d'un bon estimateur

  • Estimateur valide ou non biaisé : estimateur-valide
  • Estimateur convergent : estimateur-convergent
  • Estimateur efficace : si sa variance (dispersion autour de θ) est plus petite que celle de tout autre estimateur possible de θ

Toutefois même s'il s'agit d'un bon estimateur, nous pressentons que :

  • la statistique observée de l'échantillon ne sera pas exactement égale au paramètre inconnu de la population
  • la satistique observée de l'échantillon en sera cependant assez proche si l'échantillon est représentatif de la population
  • si nous prélévons d'autres échantillons, nous aurons d'autres statistiques plus ou moins proche les unes des autres et du paramètre de la population recherché

Les distributions d'échantillonnage des statistiques vont nous permettre de calculer les bornes permettant de situer avec une confiance suffisamment grande où se trouvent les paramètres inconnus de la population.

Bien qu'il soit impossible de donner la valeur exacte d'un paramètre, une estimation ponctuelle va définir un intervalle de confiance autour de la statistique de l'échantillon dans lequel nous sommes certain à, par exemple, 95% de trouver la valeur exacte du paramètre de la population.