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Estimation de la moyenne d'une population

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  • Exemples
  • Exercices


Soit une population donnée de taille N.

Soit M, le nombre d'échantillons possibles de taille n choisis avec la même méthode aléatoire.

Soit X une variable statistique de moyenne μ (ou μx) et de variance σ2 (ou σx2) connus pour cette population.

Soit x barre la moyenne obtenue pour l'échantillon j constitué de la série statitistique { x1, x2, ..., xn }

X-barre-rouge est la variable d'échantillonnage qui prend comme valeurs les moyennes obtenues par chacun des M échantillons de taille n, ces valeurs étant désignées par : echantillonnage-moyenne

echantillonnage-moyenne

La distribution d'échantillonnage de la moyenne est donc la distribution des moyennes des M échantillons d'effectifs n que l'on peut extraire d'une population. C'est une distribution théorique qui donne, pour chacune des valeurs possibles de la moyenne, sa probabilité associée.

echantillonnage-moyenne2

Lorsque la taille de l'échantillon n ≥ 30, la distribution se rapproche fortement d'une distribution normale. Si n < 30, elle se distribue selon une loi de Student.

Si X suit une loi normale X ∼ N(μ;σ2) ou X ∼ loi quelconque avec n ≥ 30

Echantillons avec remise

echantillonnage-moyenne-avec-remise-esperance

echantillonnage-moyenne-avec-remise-variance

La moyenne de la distribution d'échantillonnage de la moyenne est égale à la moyenne de la population.

L'écart-type de la distribution d'échantillonnage de la moyenne, appelé erreur standard, montre la variabilité auquel on doit s'attendre dans les valeurs de la moyenne pour des tirages d'échantillons répétés :

echantillonnage-moyenne-avec-remise-erreur-standard

Dans ce cas la distribution d'échantillonnage de la moyenne suit une loi normale :

echantillonnage-moyenne-avec-remise-loi-normale

Echantillons sans remise

echantillonnage-moyenne-sans-remise-esperance

echantillonnage-moyenne-sans-remise-variance

Si la population N est très grande : N ≥ 20n ou le taux de sondage n/N ≤ 0,05

alors la distribution d'échantillonnage de la moyenne suit une loi normale :

echantillonnage-moyenne-avec-remise-loi-normale

Si la population N est relativement petite : N < 20n ou le taux de sondage n/N > 0,05

alors la distribution d'échantillonnage de la moyenne suit une loi normale moyennant un facteur de correction :

echantillonnage-moyenne-sans-remise-loi-normale


Contenu 2


Ex 1 : Enoncé1
Solution1

Ex 2 : Ennoncé2
Solution2

Ex 3 : Ennoncé3
Solution3

Ex 4 : Ennoncé4
Solution4

Ex 5 : Ennoncé5
Solution5

Ex 6 : Ennoncé6
Solution6

Ex 7 : Ennoncé7
Solution7

Ex 8 : Ennoncé8
Solution8

Ex 9 : Ennoncé9
Solution9

Ex 10 : Ennoncé10
Solution10