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Position dans une distribution

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Comme l'indique le tableau Descriptive univariée et échelles de mesure, l'analyse des positions dans une distribution statistique, c-à-d la recherche des quantiles ne peut se faire que si la variable est au moins mesurée sur une échelle d'intervalles. Pour les variables qualitatives (nominale et ordinale) cela n'a pas de sens.

Quantiles (paramètre/statistique non calculé)

Les quantiles sont obtenus en divisant la distribution statistique de la variable, prélablement classée par modalités croissantes, en un certain nombre de portions contenant une même proportion (même %) d'observations.

Les divisions les plus courantes sont :

  • 2 portions contenant chacune 50% des observations. C'est la médiane
  • 4 portions contenant chacune 25% des observations. Ce sont les quartiles : 1er quartile (Q1), 2ème quartile (Q2) et 3ème quartile (Q3)
  • 10 portions contenant chacune 10% des observations. Ce sont les déciles : 1er décile, 2ème décile, ... jusqu'à 10ème décile
  • 100 portions contenant chacune 1% des observations. Ce sont les percentiles : 1er percentile, 2ème percentile, ... jusqu'au 100ème percentile

Un quantile est donc le score observé de la variable correspondant à la proportion (%) de l'effectif N de la population ou n de l'échantillon exprimée par celui-ci

Par exemple : le 95ème percentile est le score observé tel que 95% de l'effectif, lui est inférieur, et 5% supérieur.

Un rang percentile est le rang exprimé en % occupé par le score observé d'un individu donné.

Les quantiles ne sont pas affectés par les valeurs extrêmes et sont utilisables même dans le cas d'une distribution groupée avec des classes variables ou ouvertes.

Pour une distribution non groupée (variable discrète)

  • Lorsque le nombre d'observations N ou n est impair :

Pour le 1er quartile Q1, il faut rechercher la modalité de l'observation de rang (N/4 ou n/4) arrondi à la valeur entière supérieure vu que N ou n est impair.

Pour le 3ème quartile Q3, il faut donc rechercher la modalité de l'observation de rang (3N/4 ou 3n/4) arrondi à la valeur entière supérieure vu que N ou n est impair.

  • Lorsque le nombre d'observations N ou n est pair :

Pour le 1er quartile Q1, il faut rechercher la modalité de l'observation de rang (N/4 ou n/4).

Pour le 3ème quartile Q3, il faut donc rechercher la modalité de l'observation de rang (3N/4 ou 3n/4).

Pour le 95ème percentile, il faut donc rechercher la modalité de l'observation de rang (95N/100 ou 95n/100) éventuellement arrondi à la valeur entière supérieure si nécessaire.

Pour une distribution groupée (variable continue)

La classe quantile x est celle qui contient le quantile recherché. La quantile peut être calculé même lorsque la distribution groupée a des classes variables ou ouvertes.

La valeur approximative du quantile peut être obtenue :

  • algébriquement

1er quartile

Q1-distribution-groupee

3ème quartile

Q3-distribution-groupee

Un percentile quelconque Px

Px-distribution-groupee

  • graphiquement : Voir l'exemple


Pour la variable "Taille" du tableau de données brutes de 20 élèves de 1ère année du Collège Z, voici le calcul des différentes statistiques de position.

serie-statistique-exemple1-taille

Etendue

Etendue = xmax - xmin = 187 - 155 = 32 cm

Quantiles ou fractiles

Détermination des quantiles par calcul

Les calculs des quantiles seront différents s'ils sont réalisés à partir d'une distribution non groupée ou groupée en classe. En effet , dans ce dernier cas, ils sont obtenus par interpolation linéaire entre les limites de la classe correspondante au quantile.

A partir de la série statistique croissante de la variable taille

exemple-calcul-quantiles1a exemple-calcul-quantiles1b

A partir de la distribution de fréquences groupées et cumulées relatives en % de la variable taille

exemple-calcul-quantiles2a

exemple-calcul-quantiles2b

Détermination graphique des quantiles sur base de la courbe de fréquences cumulées relatives en % de la variable taille

exemple-calcul-quantiles3


Ex 1 : Enoncé1
Solution1

Ex 2 : Ennoncé2
Solution2

Ex 3 : Ennoncé3
Solution3

Ex 4 : Ennoncé4
Solution4

Ex 5 : Ennoncé5
Solution5

Ex 6 : Ennoncé6
Solution6

Ex 7 : Ennoncé7
Solution7

Ex 8 : Ennoncé8
Solution8

Ex 9 : Ennoncé9
Solution9

Ex 10 : Ennoncé10
Solution10