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Représentations graphiques univariées

  • Théorie
  • Exemples
  • Exercices


Il existe beaucoup de types de représentation graphique, certains très originaux, mais si nous voulons être puriste les diagrammes ou graphiques autorisés doivent être adaptés à l’échelle de mesure de la variable.

Les diagrammes représentant une seule variable sont toujours constitués de :

  • L'axe des abscisses avec les scores observés, les limites de classe ou les points centraux
  • L'axe des ordonnées avec les fréquences absolues, relatives ou relatives en %. L'échelle de l'axe est choisie afin que le diagramme occupe tout l'espace et les fréquences relatives en % donnent une meilleure idée des proportions

Diagrammes de fréquences non cumulées

Diagramme en barres ou en bâtons

Ce type de graphique est utilisé pour représenter les variables discrètes c-à-d mesurées sur une échelle nominale, ordinale ou absolue.

Il est construit en traçant parallèlement à l'axe des ordonnées et en face de chaque modalité xi de la variable X, un segment vertical de longueur égale à la fréquence de cette modalité. La largeur de chaque barre est identique et deux barres voisines ne se touchent pas. S'il y a plus que quelques modalités, les barres deviennent des segments de droite et nous parlerons de diagramme en bâtons.

La somme des longueurs de segments est égale à l'effectif total (N ou n) dans le cas des fréquences absolues, à 1 dans le cas des fréquences relatives ou à 100 dans le cas des fréquences relatives en %.

Histogramme

Ce type de graphique est utilisé pour représenter les variables continues c-à-d mesurées sur une échelle d'intervalles ou de rapports.

Il se compose de rectangles contigus dont la base est l'intervalle de classe et la hauteur la fréquence de la classe correspondante; et ce, de manière à ce que l'aire des rectangles soit proportionnelle aux fréquences des classes correspondantes.

La somme des aires des rectangles est égale à l'effectif total (n ou N) dans le cas des fréquences absolues, à 1 dans le cas des fréquences relatives et à 100 dans le cas des fréquences relatives en %.

Vous pouvez laisser une classe vide en début et en fin sur l'axe horizontal afin de pouvoir superposer le polygone de fréquence.

Histogramme et classes d'amplitude inégale

Si les classes sont d'amplitude inégale, il faut ajuster la hauteur des rectangles en conséquence à l'aide d'une règle de 3.

Histogramme et classes ouvertes

Dans le cas de classes ouvertes, il est impossible de tracer un histogramme, à moins de fermer délibérément ces classes. Si l'accès aux données brutes est possible, il est facile de fixer les bornes. Sinon il s'agira de choisir des bornes raisonnables en fonction de votre expérience et du contexte.

Polygone de fréquences

Il est construit en prenant :

  • Le premier point ayant comme abscisse, la modalité précédente non observée ou le milieu d'une classe vide ajoutée au début et comme ordonnée 0
  • Le dernier point ayant comme abscisse, la modalité suivante non observée ou le milieu d'une classe vide ajoutée à la fin et comme ordonnée 0
  • Pour les points intermédiaires, correspondant aux modalités ou classes observées, comme abscisse, la modalité ou le milieu d'une classe et comme ordonnée, la fréquence correspondante

Les différents points sont ensuite reliés entre eux par :

  • pour les variables discrètes, des segments horizontaux, d'où nous obtenons une courbe en escalier
  • pour les variables continues, une ligne brisée

Diagramme en secteurs

Ce type de diagramme est surtout utilisé pour représenter les variables qualitatives c-à-d mesurées sur une échelle nominale.

Il est circulaire (camembert) ou semi-circulaire et composé de secteurs dont l’angle (ou l’aire) de chaque secteur est proportionnel à la fréquence de la modalité correspondante.

L'ensemble du cercle ou demi-cercle est égal à l'effectif total (N ou n) dans le cas des fréquences absolues, à 1 dans le cas des fréquences relatives et à 100 dans le cas des fréquences relatives en %.

Diagrammes de fréquences cumulées ou ogives

Il est construit différemment selon le type de distribution :

Pour les distributions non groupées (variables discrètes), il est en escalier

Il est construit en traçant des segments verticaux de longueur égale à la fréquence cumulée de la modalité mais en les décalant progressivement vers le haut, de manière à ce que l'origine de chacun d'eux soit située à la hauteur de l'extrémité du précédent. Nous joignons ensuite les différents segments verticaux par des segments horizontaux. Le 1er segment est sur l'axe des abscisses et va de 0 à la 1ère modalité. Le dernier segment se prolonge horizontalement après la dernière modalité au niveau de fréquence de N (ou n), 1 ou 100

Pour les distributions groupées (variables continues), il est en ligne brisée

Il est construit en joignant par une ligne brisée les points obtenus en portant des ordonnées égales aux fréquences cumulées en face des limites supérieures de classe. Le premier point a comme abscisse la borne inférieure de la 1ère classe et comme ordonnée 0 et le dernier point a comme abscisse la borne supérieure de la dernière classe et comme ordonnée N (ou n), 1 ou 100.


Tableau des données brutes de 20 élèves de 1ère année du Collège Z

Tableau-donnees-exemple1

Basés sur les données du tableau, voici des exemples de représentations graphiques adaptées au type d'échelle de mesures des variables.

Variables qualitatives nominales

Diagramme en barres de la distribution de fréquences relatives de la variable "Couleur de cheveux"

Graphique-barre-nominale

Diagramme en secteurs de la distribution de fréquences relatives en % de la variable "Couleur de cheveux"

Graphique-secteur

Variables qualitatives ordinales

Diagramme en barres de la distribution de fréquences absolues dont l’axe des abscisses reprend les modalités ordonnées de la variable ordinale "Degré de pratique sportive"

Graphique-barre-ordinale

Variables quantitatives continues

Histogramme de la distribution de fréquences relatives groupées en classes de 5 cm de la variable "Taille"

Graphique-histogramme

Polygone de fréquences fréquences relatives groupées en classes de 5 cm de la distribution de la variable "Taille"

Graphique-polygone-frequences

Variables quantitatives discrètes

Diagramme en barres de la distribution de fréquences relatives en % et dont l’axe des abscisses démarre à l’origine (0) et est gradué numériquement selon les modalités de la variable "Fratrie"

Graphique-barre-absolue

Courbe de fréquences cumulées

Distribution de fréquences relatives en % cumulées non groupées de la variable discrète ordinale "Degré de pratique sportive" : Fonction discontinue en escalier

Graphique-en-escalier

Distribution de fréquences relatives en % cumulées et groupées en classes de 5 cm de la variable continue "Taille"

Graphique-ogive


Ex 1 :
  1. Dessinez la représentation graphique de la distribution de données relatives à l'âge des membres d'un club sportif de l'exercice 1 dans Tableaux univariés
  2. Commentez la représentation graphique

1) Histogramme des 50 membres d'un club sportif

univariee-graphique-1

2) Les âges des membres de ce club sportif se distribuent de façon symétrique de part et d’autre de la classe centrale, la classe 26,5 – 31,5.
La classe 26,5 – 31,5 compte le plus grand effectif : c’est la classe modale

N.B. : L’ordre des rectangles est important. Les rectangles doivent être collés les uns aux autres parce qu’il s’agit d’une variable continue. La base des rectangles doit être identique si les classes ont la même largeur. Un trou entre deux rectangles signifierait que la classe est vide : il n’y a que dans ce cas que deux rectangles pourraient ne pas se toucher.


Ex 2 :
  1. Dessinez la représentation graphique de la distribution de données relatives aux problèmes de santé des patients d'un hôpital de santé de l'exercice 1 dans "Tableaux univariés"
  2. Commentez la représentation graphique

1)

univariee-graphique-2

2) 5 des 7 catégories ne recouvrent que moins de 10% des motifs de consultation. Ces 5 catégories réunies ne reprennent que 39% des patients. Les 61% restant relèvent de 2 catégories seulement, puisque 33% des sujets consultent pour une dépression générale et 28% pour d’autres raisons.

N.B. : L’ordre des barres sur le graphique n’a pas d’importance puisque nous sommes sur une échelle nominale, donc en deçà d’une échelle ordinale.


Ex 3 :

Sur base du tableau de fréquences ci-dessous, représentez graphiquement les fréquences absolues de la variable « note ». N’oubliez pas d’indiquer un titre, le sens des axes et une légende. Comment s’appelle un tel graphe ? Comment s’appelle l’axe horizontal et que représente-t-il ?

univariee-graphique-3

univariee-graphique-4

Une autre représentation graphique possible aurait été un histogramme. Dans un histogramme, la différence est d’une part, qu’on parle de classes et d’autre part, que les barres sont collées l’une à l’autre. On aurait par exemple eu une classe allant de 10,5 à 11,5 puis de 11,5 à 12,5 etc.
L’axe horizontal est l'axe des abscisses. Dans le cas d’un histogramme ou d’un diagramme en barres, on indique les valeurs non observées dans l’échantillon, parce que l’axe horizontal représente une mesure continue; d’où l’apparition d’intervalles vides. Dans un histogramme, il n’y a d’espace entre les colonnes que s’il y a des classes vides.


Ex 4 :

Que peut-on dire de la surface de chaque rectangle d'un histogramme et par rapport à la surface totale des rectangles ? Comparez à ce qu’il en est pour un diagramme en barres.

    Dans un histogramme :

    • La surface d'un rectangle est proportionnelle à la fréquence des observations
    • La surface totale obtenue en sommant les surfaces de tous les rectangles de l’histogramme correspond à la fréquence absolue cumulée de toutes les observations c-à-d à l'effectif total n.

    Si tous les rectangles d’un histogramme ont la même base, on peut se contenter de regarder seulement leur hauteur.

    Dans un diagramme en barre : Par contre, on ne parle pas de surface. On ne regarde que la hauteur des barres qui est proportionnelle à la fréquence des observation.


Ex 5 :

Associez les histogrammes suivants à leur polygone de fréquences.

univariee-graphique-5

  • a = 2
  • b = 4
  • c = 5
  • d = 1
  • e = 3

Ex 6 : Ennoncé6
Solution6

Ex 7 : Ennoncé7
Solution7

Ex 8 : Ennoncé8
Solution8

Ex 9 : Ennoncé9
Solution9

Ex 10 : Ennoncé10
Solution10