logo

 

 


 

Forme d'une distribution

  • Théorie
  • Exemples
  • Exercices


La notion de forme d'une distribution statistique fait référence à la forme générale de son polygone de fréquences.

La forme d'une distribution dépend du :

Nombre de modes ou classes modales

Une distribution bimodale montre 2 pics de fréquences élevées séparés par 1 creux de fréquences basses.

Une distribution trimodale montre une alternance de 3 pics et de 2 creux.

Degré d'asymétrie

La forme en i présente une distribution asymétrique dont les fréquences décroissent de manière monotone depuis la valeur la plus faible jusqu'à la valeur la plus élevée de la variable.

La forme en j présente une distribution asymétrique dont les fréquences croissent de manière monotone depuis la valeur la plus faible jusqu'à la valeur la plus élevée de la variable.

La forme en U a son minimum à la moyenne, elle est composée d'une forme en i pour les valeurs inférieures à la moyenne et d'une forme en j pour les valeurs supérieures à la moyenne.

Degré d'aplatissement

Une distribution peut présenter un aspect général plus pointu ou plus aplati par rapport à une distribution normale de même moyenne et de même écart type.

Les indices de forme (paramètres / statistiques calculés)

Ces indices d'asymétrie et d'aplatissement sont calculés par les coefficients G1 et G2 sur base respectivement des moments centrés d'ordre 3 et 4.

Indice d'asymétrie (skewness) : coefficient G1 de Fisher

coefficient-G1

avec :

Moment-M3

et

ecart-type 2

En fait G1 est un moment centré d'ordre 3 calculé sur les scores Z ou scores standards :

En remplaçant M3 dans la formule de G1, nous avons :

Moment-3-score-Z

Le coefficient G1 de Fisher est donc un nombre pur sans unité puisque basé sur les scores Z et qui peut être en valeur absolue supérieur 1.

  • Si G1 = 0 : La distribution est parfaitement symétrique
  • Si G1 > 0 : La distribution s'étire plus fort vers les valeurs positives de Z. C'est une asymétrie positive
  • Si G1 < 0 : La distribution s'étire plus fort vers les valeurs négatives de Z. C'est une asymétrie négative

Indice d'aplatissement (kurtosis) : coefficient G2 de Fisher

coefficient-G2

avec

Moment-M4

et

ecart-type 2

En fait G2 est un moment centré d'ordre 4 calculé sur les scores Z ou scores standards :

En remplaçant M4 dans la formule de G2, nous avons :

Moment-4-score-Z

Le coefficient G2 de Fisher est donc un nombre pur sans unité puisque basé sur les scores Z et qui peut être en valeur absolue supérieur 1.

  • Si G2 = 0 : La distribution n'est ni plus pointue, ni plus aplatie qu'une courbe normale de même moyenne et de même écart type. C'est une distribution normale
  • Si G2 > 0 : La distribution s'étire plus fort vers le haut et devient plus pointue que la distribution normale correspondante. Il y a une plus grande fréquence de scores observés de la variable proches de la moyenne. C'est une distribution leptokurtique
  • Si G2 < 0 : Le centre de la distribution s'aplatit et devient moins pointue que la distribution normale correspondante. Il y a une plus grande fréquence de scores observés de la variable éloignés de la moyenne. C'est une distribution platykurtique

Distribution en i
forme-en-i
Distribution en j

forme-en-j

Distribution en U

forme-en-U

Indice d'asymétrie : coefficient G1 de Fisher

indice-en-G1

Indice d'aplatissement (kurtosis) : coefficient G2 de Fisher

indice-en-G2


Ex 1 : Enoncé1
Solution1

Ex 2 : Ennoncé2
Solution2

Ex 3 : Ennoncé3
Solution3

Ex 4 : Ennoncé4
Solution4

Ex 5 : Ennoncé5
Solution5

Ex 6 : Ennoncé6
Solution6

Ex 7 : Ennoncé7
Solution7

Ex 8 : Ennoncé8
Solution8

Ex 9 : Ennoncé9
Solution9

Ex 10 : Ennoncé10
Solution10