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Transformation linéaire de variable

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  • Exercices


Une tansformation linéaire d'une variable X est de type : x' = ax + b

Changement d'origine

L'addidition ou la soustraction d'une constante d'une variable X consiste en un changement d'origine.

En particulier, lorsqu'on soustrait la moyenne aux scores bruts de la variable, nous obtenons les scores de déviation Di ou scores centrés ou semi-réduits ainsi qu'une nouvelle X', appelée variable centrée.

Un changement d'origine correspond à une translation vers la droite ou vers la gauche de la distribution sans modification ni de la dispersion ni de la forme.

Changement d'unité

La multiplication ou la division d'une variable X par une coonstance consiste en un changement d'unité.

Par exemple, si on divise des mesures de la taille exprimées en cm par 2,54, on obtient des mesures de la taille exprimées en pouces.

En particulier, si on divise chaque score brut par l'écart type, nous obtenons une nouvelle X', appelée variable réduite.

Un changement d'unité correspond à une contraction ou une dilatation sans modification de la forme.

Combinaison des 2 changements

La combinaison des deux opérations consiste en un changement d’origine et d’unité.

Par exemple, si on multiplie des mesures de température exprimées en degrés centigrades par 9/5 et qu’on ajoute 32, on obtient des mesures de température exprimées en degrés Fahrenheit.

En particulier, quand on soustrait la moyenne à chaque score brut et qu’on divise ensuite par l’écart type, nous obtenons les scores z ainsi qu'une nouvelle variable X' appelée variable standard, notée z, ou variable centrée réduite.

La forme des distributions n’est pas affectée par les transformations linéaires, les coefficients d'asymétrie G1 et d'applatissement G2 restent les mêmes.


Voici quelques combinaisons linéaires de variables :

    1. Une somme de variables : Y = X1+ X2+ X3
    2. Une moyenne de variables : Y = (X1+ X2+ X3)/3
    3. Une différence de variables : Y = X1- X2
    4. N'importe quelle cominaison : Y = X1- (X2+ X3)/2

Nous pouvons les réécrire en utilisant des coefficients de pondération :

    1. Y = (+1)X1 + (+1)X2 + (+1)X3
    2. Y = (+1/3)X1 + (+1/3)X2 + (+1/3)X3
    3. Y = (+1)X1 + (-1)X2 + (0)X3
    4. Y = (+1)X1 + (-1/2)X2+ (-1/2)X3

Une combinaison linéaire est donc une somme algébrique pondérée de variables dont la forme générale est :

combinaison-lineaire

Une combinaison linéaire, telle que la 3 et la 4, dont la somme des coefficients de pondération est nulle, est appelée un contraste linéaire.

3. (+1) + (-1) + (0) = 0
4. (+1) + (-1/2) + (-1/2) = 0

Une autre condition non nécessaire mais souhaitable est que la somme des valeurs absolues des coefficients soit égale à 2

3. |+1| + |-1| + |0| = 2
4. |+1| + |-1/2| + |-1/2| = 2

Calcul de la moyenne d'une combinaison linéaire

Nous avons vu que si chaque score observé d'une variable X est multipliée ou divisée par une constante, la moyenne de la variable X' est multipliée ou divisée par cette constante.

Par conséquent la moyenne d'une combinaison linéaire est calculée comme suit :

combinaison-lineaire-moyenne

Calcul de la variance d'une combinaison linéaire

Nous avons vu que si chaque score observé d'une variable X est multipliée ou divisée par une constante, la variance de la variable X' est multipliée ou divisée par le carré de cette constante.

Attention ce qui est vrai pour la variance d'une variable ne l'est plus pour la variance d'une combinaison de variables. Nous devons repasser par l'algèbre et le carré d'un polynôme.

  • Soit la combinaison linéaire d'addition de variables : Y = X1+ X2

combinaison-lineaire-variance1

combinaison-lineaire-variance2

combinaison-lineaire-variance3

Nous avons vu que le coefficient de corrélation est égal à la covariance divisée par les produits des écarts types :

combinaison-lineaire-variance6

d'où : combinaison-lineaire-variance7

  • Soit la combinaison linéaire de différence entre variables : Y = X1 - X2

combinaison-lineaire-variance5 et combinaison-lineaire-variance8

  • Dans le cas où X1 et X2 sont indépendantes

alors cov(x1,x2) = rx1,x2 = 0 et combinaison-lineaire-variance9

Matrice variance-covariance

La variance d'une combinaison linéaire peut être obtenue en sommant les termes d'une matrice variance-covariance.

Matrice variance-covariance
  (c1)X1 (c2)X2 (c3)X3
(c1)X1
(c1)2S21
(c1)(c2)cov12
(c1)(c3)cov13
(c2)X2
(c1)(c2)cov12
(c2)2S22
(c2)(c3)cov23
(c3)X3
(c1)(c3)cov13
(c2)(c3)cov23
(c3)2S23

S2Y = (c1)2S21+(c2)2S22+(c3)2S23+2(c1)(c2)cov12+2(c1)(c3)cov13+2(c2)(c3)cov23


Transformation linéaire de type X' = aX + b

Soit la distribution d'une variable X = "Cotes de cours sur 20" qui est une représentation des fréquences absolues des scores bruts xi

transformation-lineaire1

Nous opérons un changement d'origine afin d'obtenir une variable X' centrée ou semi-réduite, c-à-d dont la moyenne sera nulle.

Pour cela nous devons calculer les scores de déviation : score-deviation2 à partir des scores brutes et de leur moyenne. La distribution ci-dessous représente les fréquences absolues des scores de déviation Di :

transformation-lineaire2

Nous constatons que la distribution a subi une translation vers la droite mais que sa dispersion et sa forme sont restées identiques.

Nous effectuons maintenant un changement d'unité afin d'obtenir une variable X' centrée réduite ou standardisée, c-à-d dont la moyenne = 0 et l'écart type = 1.

Pour cela nous devons calculer les scores Z : score-z à partir des scores brutes, de leur moyenne et leur écart type. La distribution ci-dessous représente les fréquences absolues des scores standardisés Zi :

transformation-lineaire3

Nous constatons que la distribution a subi en plus une contraction mais que sa forme est restée identique.

Combinaison linéaire

combiniaison-lineaire1

combinaison-lineaire2

Soit la combinaison linéaire : Y = X1- (X2+ X3)/2

  • Avec coefficients de pondération : Y = (+1)X1 + (-1/2)X2+ (-1/2)X3
  • Moyenne My = (+1)M1 + (-1/2)M2+ (-1/2)M3

    = (+1)14,6 + (-1/2)14,30+ (-1/2)14,45 = 0,225

  • Variance S2Y
Matrice variance-covariance
  (+1)X1 (-1/2)X2 (-1/2)X3
(+1)X1
(1)2S21
(1)(-1/2)cov12
(1)(-1/2)cov13
(-1/2)X2
(1)(-1/2)cov12
(-1/2)2S22
(-1/2)(-1/2)cov23
(-1/2)X3
(1)(-1/2)cov13
(c2)(c3)cov23
(-1/2)2S23

S2Y = (1)2S21+(-1/2)2S22+(-1/2)2S23+2(1)(-1/2)cov12+2(1)(-1/2)cov13+2(-1/2)(-1/2)cov23

S2Y = S21+ 1/4 S22+ 1/4 S23 - cov12 - cov13 + 1/2 cov23

S2Y = 3,726 + 1/4 (2,011) + 1/4 (4,787) - (-1,084) - (-1,074) + 1/2 (-0,37)=7,57


Ex 1 : Enoncé1
Solution1

Ex 2 : Ennoncé2
Solution2

Ex 3 : Ennoncé3
Solution3

Ex 4 : Ennoncé4
Solution4

Ex 5 : Ennoncé5
Solution5

Ex 6 : Ennoncé6
Solution6

Ex 7 : Ennoncé7
Solution7

Ex 8 : Ennoncé8
Solution8

Ex 9 : Ennoncé9
Solution9

Ex 10 : Ennoncé10
Solution10